Calcul du Débit d'un Canal par l'Équation de Bazin

Contexte : L'ingénierie hydraulique. Cet exercice porte sur le dimensionnement d'un canal d'irrigation à ciel ouvert. L'un des calculs fondamentaux consiste à déterminer le débitLe volume d'eau qui s'écoule à travers une section du canal par unité de temps. Généralement mesuré en mètres cubes par seconde (m³/s). que le canal peut transporter en fonction de sa géométrie et de la nature de ses parois.

Pour cela, nous utiliserons la formule de Bazin, une approche empirique développée au 19ème siècle par l'ingénieur français Henri Bazin. Cette méthode permet d'évaluer l'effet de la rugositéCaractéristique de la surface des parois du canal (béton, terre, roches...) qui influence la résistance à l'écoulement et donc la vitesse de l'eau. des parois sur la vitesse de l'eau dans un canal trapézoïdalUn canal dont la section transversale a la forme d'un trapèze, une géométrie très courante pour les canaux en terre ou revêtus., une forme très répandue pour sa stabilité.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème d'hydraulique en étapes logiques : d'abord la caractérisation géométrique de la section d'écoulement, puis l'application d'une formule empirique pour en déduire les grandeurs hydrauliques clés (vitesse et débit).

Objectifs Pédagogiques

Calculer les propriétés géométriques (surface et périmètre mouillés, rayon hydraulique) d'un canal trapézoïdal.
Appliquer la formule de Bazin pour déterminer le coefficient de vitesse de Chézy.
Calculer la vitesse d'écoulement et le débit dans un canal à surface libre.

Données de l'étude

On étudie un canal d'irrigation de section trapézoïdale creusé en terrain naturel et revêtu de béton lisse pour optimiser l'écoulement.

Fiche Technique du Canal

Caractéristique	Description
Forme de la section	Trapézoïdale
Matériau des parois	Béton lisse
État du revêtement	Neuf et bien entretenu

Géométrie de la Section du Canal

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur au radier	\(b\)	2.0	\(\text{m}\)
Fruit des berges (1V:mH)	\(m\)	1.5	-
Hauteur normale d'eau	\(h\)	1.2	\(\text{m}\)
Pente longitudinale du radier	\(I\)	0.0004	\(\text{m/m}\)
Coefficient de rugosité de Bazin	\(\gamma\)	0.16	-

Questions à traiter

Calculer la surface mouillée (\(A\)) du canal.
Calculer le périmètre mouillé (\(P_m\)) du canal.
Calculer le rayon hydraulique (\(R_h\)).
Déterminer le coefficient de Chézy (\(C\)) en utilisant la formule de Bazin.
Calculer la vitesse moyenne (\(V\)) de l'écoulement.
En déduire le débit (\(Q\)) du canal.

Les bases sur l'hydraulique à surface libre

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux ensembles de formules : celles décrivant la géométrie de la section d'écoulement et celles décrivant l'écoulement lui-même (formules de Bazin et de Chézy).

1. Géométrie des Canaux Trapézoïdaux
La capacité d'un canal à transporter de l'eau dépend directement de la forme de sa section en contact avec l'eau.

Surface Mouillée (\(A\)) : C'est l'aire de la section transversale de l'écoulement. \[ A = (b + m \cdot h) \cdot h \]
Périmètre Mouillé (\(P_m\)) : C'est la longueur de la paroi du canal en contact avec l'eau (fond + berges). \[ P_m = b + 2h\sqrt{1+m^2} \]
Rayon Hydraulique (\(R_h\)) : C'est le rapport entre la surface et le périmètre mouillés. Il caractérise l'efficacité de la section à faire s'écouler l'eau. \[ R_h = \frac{A}{P_m} \]

2. Équations de l'Écoulement (Chézy & Bazin)
Ces formules relient la vitesse de l'eau à la géométrie du canal et à la rugosité de ses parois.

Formule de Chézy : C'est la relation de base qui donne la vitesse. \[ V = C \sqrt{R_h \cdot I} \]
Formule de Bazin : Elle permet de calculer le coefficient \(C\) de Chézy en fonction de la rugosité \(\gamma\). \[ C = \frac{87}{1 + \frac{\gamma}{\sqrt{R_h}}} \]
Équation de Continuité (Débit) : Elle relie le débit, la vitesse et la surface. \[ Q = A \cdot V \]

Correction : Calcul du Débit d’un Canal par l’Équation de Bazin

Question 1 : Calculer la surface mouillée (\(A\))

Principe

La surface mouillée est l'aire de la section transversale de l'eau qui s'écoule dans le canal. C'est cette surface qui, multipliée par la vitesse, donnera le débit. Pour une section trapézoïdale, elle correspond à l'aire d'un trapèze.

Mini-Cours

L'aire d'un trapèze se calcule par la formule : \(A = \frac{(\text{Grande base} + \text{Petite base})}{2} \times \text{Hauteur}\). Dans notre cas, la petite base est le radier \(b\), la grande base est la largeur à la surface de l'eau \(b + 2mh\), et la hauteur est \(h\). La formule \(A = (b + mh)h\) est une simplification de cette formule générale.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'hydraulique à surface libre est toujours de bien caractériser la géométrie de la section. Prenez le temps de visualiser comment la largeur, la hauteur et le fruit des berges se combinent pour former la surface d'écoulement.

Normes

Le calcul des propriétés géométriques d'une section ne dépend pas d'une norme spécifique (comme les Eurocodes), mais des principes fondamentaux de la géométrie euclidienne.

Formule(s)

Formule de la surface mouillée d'un trapèze :

A = (b + m \cdot h) \cdot h

Hypothèses

La section du canal est un trapèze parfait et constant sur la longueur étudiée.
La surface de l'eau est plane et horizontale.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur au radier	\(b\)	2.0	\(\text{m}\)
Fruit des berges	\(m\)	1.5	-
Hauteur d'eau	\(h\)	1.2	\(\text{m}\)

Astuces

Pour mémoriser la formule, vous pouvez décomposer mentalement le trapèze en un rectangle central de surface \((b \times h)\) et deux triangles identiques sur les côtés, chacun d'aire \((\frac{1}{2} \times (mh) \times h)\). La somme donne bien \(bh + mh^2 = (b+mh)h\).

Schéma (Avant les calculs)

Section transversale du canal à calculer

Calcul(s)

Application numérique de la formule :

\begin{aligned} A &= (2.0 \, \text{m} + 1.5 \cdot 1.2 \, \text{m}) \cdot 1.2 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul de la largeur en surface :

\begin{aligned} A &= (2.0 \, \text{m} + 1.8 \, \text{m}) \cdot 1.2 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul final de la surface :

\begin{aligned} A &= 3.8 \, \text{m} \cdot 1.2 \, \text{m} \\ &= 4.56 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Surface mouillée calculée

Réflexions

Une surface de 4.56 m² représente la "porte" à travers laquelle l'eau s'écoule. C'est une valeur plausible pour un canal d'irrigation de taille moyenne. Cette valeur seule ne nous dit rien sur le débit, mais elle est la première brique essentielle du calcul.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est d'oublier de multiplier le fruit des berges \(m\) par la hauteur \(h\) avant de l'ajouter à \(b\). Assurez-vous que toutes vos unités sont cohérentes (ici, tout est en mètres).

Points à retenir

La surface mouillée est la section d'écoulement de l'eau.
Pour un trapèze, sa formule est \(A = (b + mh)h\).

Le saviez-vous ?

Pour un débit donné, la section trapézoïdale qui minimise le périmètre mouillé (et donc les pertes par frottement et les coûts de revêtement) est un demi-hexagone régulier.

FAQ

Résultat Final

\(A = 4.56 \, \text{m}^2\)

A vous de jouer

Calculez la surface mouillée si la hauteur d'eau monte à \(h=1.5\) m.

Question 2 : Calculer le périmètre mouillé (\(P_m\))

Principe

Le périmètre mouillé représente la longueur de la ligne de contact entre l'eau et les parois du canal (le fond et les deux berges). C'est sur cette surface que s'exercent les forces de frottement qui ralentissent l'écoulement.

Mini-Cours

Le périmètre mouillé est la somme de la longueur du radier (\(b\)) et des longueurs des deux berges inclinées. La longueur d'une berge se calcule avec le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle formé par la hauteur \(h\) et la projection horizontale \(mh\). La longueur de la pente (hypoténuse) est donc \(\sqrt{h^2 + (mh)^2} = h\sqrt{1+m^2}\).

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas le périmètre mouillé avec la largeur en surface. Le périmètre mouillé est une mesure de la longueur de frottement, c'est pourquoi il est si important en hydraulique.

Normes

Comme pour la surface, ce calcul relève de la géométrie pure et non d'une norme de construction.

Formule(s)

Formule du périmètre mouillé d'un trapèze :

P_m = b + 2h\sqrt{1+m^2}

Hypothèses

Les berges sont des lignes droites et lisses.
Le fond du canal est plat.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur au radier	\(b\)	2.0	\(\text{m}\)
Fruit des berges	\(m\)	1.5	-
Hauteur d'eau	\(h\)	1.2	\(\text{m}\)

Astuces

Calculez d'abord le terme \(\sqrt{1+m^2}\) séparément, car il ne dépend que du fruit des berges. Pour \(m=1.5\), cette valeur est \(\approx 1.803\). Vous pouvez ensuite la réutiliser facilement si vous devez tester différentes hauteurs d'eau.

Schéma (Avant les calculs)

Lignes de contact de l'eau (en rouge)

Calcul(s)

Calcul du terme sous la racine :

\begin{aligned} \sqrt{1 + 1.5^2} &= \sqrt{1 + 2.25} \\ &= \sqrt{3.25} \\ &= 1.8028 \end{aligned}

Application numérique de la formule complète :

\begin{aligned} P_m &= 2.0 + 2 \cdot 1.2 \cdot 1.8028 \\ &= 2.0 + 2.4 \cdot 1.8028 \\ &= 2.0 + 4.3267 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Périmètre mouillé calculé

Réflexions

Un périmètre de 6.327 m signifie que pour chaque mètre de canal, il y a plus de 6 mètres de paroi en contact avec l'eau. Minimiser ce périmètre pour une surface donnée est un objectif clé en conception de canaux pour réduire les pertes de charge.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier de mettre \(m\) au carré sous la racine. Une autre erreur fréquente est de n'ajouter qu'une seule fois la longueur de la berge au lieu de deux.

Points à retenir

Le périmètre mouillé est la longueur du contact eau-paroi.
Sa formule \(P_m = b + 2h\sqrt{1+m^2}\) inclut le fond et les deux berges.

Le saviez-vous ?

La forme qui offre la plus petite périmètre pour une aire donnée est le cercle. C'est pourquoi les conduites sous pression sont circulaires. Pour les canaux, le demi-cercle serait idéal, mais difficile à construire en terrassement, d'où la popularité du trapèze.

FAQ

Résultat Final

\(P_m = 6.327 \, \text{m}\)

A vous de jouer

Calculez le périmètre mouillé si la hauteur d'eau est de \(h=1.5\) m.

Question 3 : Calculer le rayon hydraulique (\(R_h\))

Principe

Le rayon hydraulique n'est pas un rayon au sens géométrique, mais un rapport qui mesure l'efficacité de la section du canal. Un grand rayon hydraulique signifie que pour une grande surface d'écoulement, les frottements (liés au périmètre) sont relativement faibles, ce qui favorise une vitesse élevée.

Mini-Cours

Le concept de rayon hydraulique est crucial car il permet de comparer l'efficacité de sections de formes très différentes (rectangulaire, trapézoïdale, circulaire...). C'est une grandeur synthétique qui encapsule l'influence de la géométrie sur l'écoulement. Toutes les grandes formules d'hydraulique (Chézy, Manning) l'utilisent comme paramètre central.

Remarque Pédagogique

Pensez au rayon hydraulique comme à un "indice de performance" de la forme du canal. Un bon ingénieur cherchera à maximiser cette valeur lors de la conception pour obtenir le même débit avec une pente plus faible, ou un débit plus important pour une même pente.

Normes

Ce paramètre est universel en mécanique des fluides et n'est pas lié à une norme spécifique.

Formule(s)

Formule du rayon hydraulique :

R_h = \frac{A}{P_m}

Hypothèses

Ce calcul ne requiert pas d'hypothèses supplémentaires, il découle directement des définitions de A et Pm.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Surface mouillée	\(A\)	4.56	\(\text{m}^2\)
Périmètre mouillé	\(P_m\)	6.327	\(\text{m}\)

Astuces

Il n'y a pas d'astuce particulière ici, si ce n'est de bien utiliser les valeurs non arrondies des calculs précédents pour conserver la précision.

Schéma (Avant les calculs)

Rapport entre Surface et Périmètre

Calcul(s)

Application numérique :

\begin{aligned} R_h &= \frac{4.56 \, \text{m}^2}{6.327 \, \text{m}} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Valeur du Rayon Hydraulique

Réflexions

La valeur de 0.721 m est une longueur caractéristique de l'écoulement. Pour un canal très large et peu profond, le rayon hydraulique tend vers la hauteur d'eau \(h\). Ici, la valeur est inférieure à \(h\) (1.2 m), ce qui est normal pour un canal trapézoïdal où les berges ajoutent beaucoup de périmètre.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'inverser la fraction (\(P_m/A\)). Souvenez-vous que le rayon hydraulique doit avoir une unité de longueur (m), donc on doit bien diviser une surface (m²) par une longueur (m).

Points à retenir

Le rayon hydraulique \(R_h\) mesure l'efficacité de la section.
Il se calcule toujours par le rapport \(A/P_m\).

Le saviez-vous ?

Pour un tuyau circulaire rempli d'eau, le rayon hydraulique est \(R_h = \frac{\pi R^2}{2\pi R} = \frac{R}{2}\). Il est donc égal à la moitié du rayon géométrique !

FAQ

Résultat Final

\(R_h = 0.721 \, \text{m}\)

A vous de jouer

En utilisant vos résultats des exercices précédents, quel serait le rayon hydraulique pour \(h=1.5\) m ?

Question 4 : Déterminer le coefficient de Chézy (\(C\))

Principe

Le coefficient de Chézy, \(C\), est un facteur qui quantifie la capacité du canal à laisser l'eau s'écouler. Une valeur de \(C\) élevée indique un canal "glissant" (faible rugosité, grande efficacité hydraulique), tandis qu'un \(C\) faible indique un canal "rugueux" qui freine l'eau.

Mini-Cours

Il existe plusieurs formules empiriques pour estimer \(C\) (Manning-Strickler, Bazin, etc.). La formule de Bazin est particulièrement adaptée aux canaux à ciel ouvert et exprime \(C\) comme une fonction inverse de la rugosité \(\gamma\) et directe du rayon hydraulique \(R_h\). Plus le canal est lisse (petit \(\gamma\)) et hydrauliquement efficace (grand \(R_h\)), plus \(C\) sera grand.

Formule(s)

Formule de Bazin :

C = \frac{87}{1 + \frac{\gamma}{\sqrt{R_h}}}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon hydraulique	\(R_h\)	0.721	\(\text{m}\)
Coefficient de Bazin	\(\gamma\)	0.16	-

Calcul(s)

Calcul du terme au dénominateur :

\begin{aligned} 1 + \frac{0.16}{\sqrt{0.721}} &= 1 + \frac{0.16}{0.849} \\ &= 1 + 0.1884 \\ &= 1.1884 \end{aligned}

Calcul final de C :

\begin{aligned} C &= \frac{87}{1.1884} \end{aligned}

Réflexions

Une valeur de \(C=73.21\) est typique pour un canal en béton. À titre de comparaison, un canal en terre très rugueux pourrait avoir un \(C\) autour de 30-40, tandis qu'un conduit en PVC très lisse pourrait dépasser 100.

Résultat Final

\(C = 73.21\)

A vous de jouer

Quel serait le coefficient C si le canal était en terre ordinaire (\(\gamma=1.3\)) ?

Question 5 : Calculer la vitesse moyenne (\(V\))

Principe

La vitesse de l'eau est le résultat de l'équilibre entre la force motrice (la gravité, liée à la pente \(I\)) et les forces de frottement (représentées par \(C\) et \(R_h\)). La formule de Chézy exprime cet équilibre.

Formule(s)

Formule de Chézy :

V = C \sqrt{R_h \cdot I}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de Chézy	\(C\)	73.21	-
Rayon hydraulique	\(R_h\)	0.721	\(\text{m}\)
Pente du canal	\(I\)	0.0004	\(\text{m/m}\)

Calcul(s)

Calcul du terme sous la racine :

\begin{aligned} R_h \cdot I &= 0.721 \cdot 0.0004 \\ &= 0.0002884 \end{aligned}

Application numérique complète :

\begin{aligned} V &= 73.21 \cdot \sqrt{0.0002884} \\ &= 73.21 \cdot 0.01698 \end{aligned}

Réflexions

Une vitesse de 1.243 m/s (environ 4.5 km/h) est une vitesse d'écoulement modérée, typique pour un canal d'irrigation. Une vitesse trop faible pourrait entraîner la sédimentation, tandis qu'une vitesse trop élevée pourrait causer de l'érosion.

Points de vigilance

L'erreur la plus courante est d'oublier la racine carrée. Assurez-vous également que la pente \(I\) est bien adimensionnelle (m/m) et non en pourcentage ou en pour mille.

Résultat Final

\(V = 1.243 \, \text{m/s}\)

A vous de jouer

Recalculez la vitesse si la pente du canal était de 0.0005 m/m.

Question 6 : En déduire le débit (\(Q\))

Principe

Le débit est la quantité totale d'eau qui traverse la section du canal chaque seconde. C'est le produit de la surface de la "porte" (surface mouillée \(A\)) par la vitesse à laquelle l'eau la traverse (\(V\)). C'est la grandeur la plus importante pour le dimensionnement.

Formule(s)

Formule du débit (équation de continuité) :

Q = A \cdot V

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Surface mouillée	\(A\)	4.56	\(\text{m}^2\)
Vitesse moyenne	\(V\)	1.243	\(\text{m/s}\)

Calcul(s)

Application numérique finale :

\begin{aligned} Q &= 4.56 \, \text{m}^2 \cdot 1.243 \, \text{m/s} \end{aligned}

Réflexions

Un débit de 5.668 m³/s signifie que près de 5700 litres d'eau passent dans le canal chaque seconde. C'est le résultat final qui permet de valider si le canal répond aux besoins pour lesquels il a été conçu (par exemple, irriguer une certaine surface de cultures).

Points à retenir

Le calcul du débit est l'aboutissement de toute la démarche. Il combine la géométrie (\(A\)) et l'hydraulique (\(V\)). La séquence \(A \Rightarrow P_m \Rightarrow R_h \Rightarrow C \Rightarrow V \Rightarrow Q\) est la méthode standard à maîtriser.

Résultat Final

\(Q = 5.668 \, \text{m}^3/\text{s}\)

A vous de jouer

Quel est le débit final si la pente du canal est de 0.0005 m/m (utilisez la vitesse calculée à la question 5) ?

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez les curseurs pour faire varier la hauteur d'eau et la pente du canal, et observez en temps réel l'impact sur la vitesse et le débit. Les autres paramètres (b, m, γ) sont fixes et basés sur l'énoncé de l'exercice.

Paramètres d'Entrée

Hauteur d'eau (h) 1.20 m

Pente du canal (I) 0.00040 m/m

Résultats Clés

Vitesse (V) - m/s

Débit (Q) - m³/s

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente principalement le coefficient \(\gamma\) (gamma) dans la formule de Bazin ?

La viscosité de l'eau
La rugosité des parois du canal
La pente du canal

2. Si la hauteur d'eau (\(h\)) dans un canal trapézoïdal augmente, comment évolue généralement le rayon hydraulique (\(R_h\)) ?

Il augmente
Il diminue
Il reste constant

3. La formule de Bazin est utilisée pour calculer directement :

Le débit Q
La vitesse V
Le coefficient C de Chézy

Débit (Q): Le volume d'eau qui s'écoule à travers une section du canal par unité de temps. Il est mesuré en mètres cubes par seconde (m³/s).
Rayon Hydraulique (\(R_h\)): Rapport de la surface mouillée sur le périmètre mouillé. C'est une longueur caractéristique qui quantifie l'efficacité hydraulique d'une section de canal.
Rugosité (\(\gamma\)): Caractéristique de l'état de surface des parois d'un canal (béton, terre, herbe, etc.). Une rugosité élevée freine l'écoulement et diminue la vitesse de l'eau.
Canal Trapézoïdal: Un canal dont la section transversale a la forme d'un trapèze. Cette forme est structurellement stable pour les canaux en remblai ou en déblai.