Calcul du coefficient thermique (Ct) du béton armé
Comprendre le Calcul du coefficient thermique (Ct) du béton armé
Dans le cadre d’un projet de construction d’un bâtiment commercial, vous êtes chargé de déterminer le coefficient thermique du béton armé utilisé pour les fondations. Ce coefficient est crucial pour évaluer les performances thermiques du bâtiment et assurer une isolation adéquate.
Pour comprendre le Calcul du coefficient d’équivalence, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Composition du béton: 75% de granulats, 15% de ciment, 10% d’eau.
- Densités:
– Granulats: \(2600 \, \text{kg/m}^3\)
– Ciment: \(3100 \, \text{kg/m}^3\)
– Eau: \(1000 \, \text{kg/m}^3\) - Capacités thermiques spécifiques (à pression constante):
– Granulats: \(0.84 \, \text{kJ/kg°C}\)
– Ciment: \(0.88 \, \text{kJ/kg°C}\)
– Eau: \(4.18 \, \text{kJ/kg°C}\) - Conductivités thermiques:
– Granulats: \(1.1 \, \text{W/m°C}\)
– Ciment: \(0.29 \, \text{W/m°C}\)
– Eau: \(0.58 \, \text{W/m°C}\) - Dimensions de la fondation en béton: \(10 \, \text{m} \times 10 \, \text{m} \times 1 \, \text{m}\).
Questions:
1. Calculez la masse volumique moyenne du béton armé.
2. Déterminez la capacité thermique moyenne du béton armé.
3. Calculez le coefficient thermique (\(C_t\)) du béton armé.
Correction : Calcul du coefficient thermique (Ct) du béton armé
1. Calcul de la masse volumique moyenne du béton armé
La masse volumique moyenne du béton armé est obtenue en faisant la somme des contributions massiques de chaque composant, pondérées par leur fraction volumique dans le mélange.
Formule :
\(\rho_{\text{béton}} = f_{\text{granulats}} \times \rho_{\text{granulats}}\) + \(f_{\text{ciment}} \times \rho_{\text{ciment}}\) + \(f_{\text{eau}} \times \rho_{\text{eau}}\)
Données :
Granulats :
- Fraction volumique, \( f_{\text{granulats}} = 0,75 \)
- Densité, \( \rho_{\text{granulats}} = 2600\, \text{kg/m}^3 \)
Ciment :
- Fraction volumique, \( f_{\text{ciment}} = 0,15 \)
- Densité, \( \rho_{\text{ciment}} = 3100\, \text{kg/m}^3 \)
Eau :
- Fraction volumique, \( f_{\text{eau}} = 0,10 \)
- Densité, \( \rho_{\text{eau}} = 1000\, \text{kg/m}^3 \)
Calcul :
\[
\begin{aligned}
\rho_{\text{béton}} &= (0,75 \times 2600) + (0,15 \times 3100) + (0,10 \times 1000) \\
&= 1950\, \text{kg/m}^3 + 465\, \text{kg/m}^3 + 100\, \text{kg/m}^3 \\
&= 2515\, \text{kg/m}^3
\end{aligned}
\]
Résultat :
La masse volumique moyenne du béton armé est 2515 kg/m³.
2. Détermination de la capacité thermique moyenne du béton armé
Pour obtenir la capacité thermique moyenne spécifique du béton, nous calculons d’abord la capacité thermique volumique de chaque composant (en multipliant la masse par la capacité thermique spécifique) puis nous faisons la somme. Ensuite, nous divisons par la masse volumique totale pour obtenir la capacité thermique spécifique moyenne.
Étape 1 : Calcul de la capacité thermique volumique
Formule :
\[ \text{CT}_{\text{vol}} = \sum \left( f_i \times \rho_i \times c_i \right) \]
Les capacités thermiques spécifiques sont données en kJ/(kg°C).
Données :
Granulats :
- \( f_{\text{granulats}} = 0,75 \)
- \( \rho_{\text{granulats}} = 2600\, \text{kg/m}^3 \)
- \( c_{\text{granulats}} = 0,84\, \text{kJ/(kg°C)} \)
Ciment :
- \( f_{\text{ciment}} = 0,15 \)
- \( \rho_{\text{ciment}} = 3100\, \text{kg/m}^3 \)
- \( c_{\text{ciment}} = 0,88\, \text{kJ/(kg°C)} \)
Eau :
- \( f_{\text{eau}} = 0,10 \)
- \( \rho_{\text{eau}} = 1000\, \text{kg/m}^3 \)
- \( c_{\text{eau}} = 4,18\, \text{kJ/(kg°C)} \)
Calcul pour chaque composant :
1. Granulats :
\[ \text{Masse} = 0,75 \times 2600 \] \[ \text{Masse} = 1950\, \text{kg/m}^3 \]
\[ \text{Contribution thermique} = 1950 \times 0,84 \] \[ \text{Contribution thermique} = 1638\, \text{kJ/(m}^3\text{°C)} \]
2. Ciment :
\[ \text{Masse} = 0,15 \times 3100 \] \[ \text{Masse} = 465\, \text{kg/m}^3 \]
\[ \text{Contribution thermique} = 465 \times 0,88 \] \[ \text{Contribution thermique} = 409,2\, \text{kJ/(m}^3\text{°C)} \]
3. Eau :
\[ \text{Masse} = 0,10 \times 1000 \] \[ \text{Masse} = 100\, \text{kg/m}^3 \]
\[ \text{Contribution thermique} = 100 \times 4,18 \] \[ \text{Contribution thermique} = 418\, \text{kJ/(m}^3\text{°C)} \]
Somme des contributions :
\[ \text{CT}_{\text{vol}} = 1638 + 409,2 + 418 \] \[ \text{CT}_{\text{vol}} = 2465,2\, \text{kJ/(m}^3\text{°C)} \]
Étape 2 : Calcul de la capacité thermique spécifique moyenne
Formule :
\[ c_{\text{béton}} = \frac{\text{CT}_{\text{vol}}}{\rho_{\text{béton}}} \]
Calcul :
\[ c_{\text{béton}} = \frac{2465,2\, \text{kJ/(m}^3\text{°C)}}{2515\, \text{kg/m}^3} \] \[ c_{\text{béton}} \approx 0,980\, \text{kJ/(kg°C)} \]
Résultat :
La capacité thermique spécifique moyenne du béton armé est d’environ 0,98 kJ/(kg°C).
3. Calcul du coefficient thermique (Ct) du béton armé
Le coefficient thermique (souvent assimilé à la diffusivité thermique, notée \(\alpha\)) est défini par le rapport de la conductivité thermique à la capacité thermique volumique (c’est-à-dire le produit de la masse volumique et de la capacité thermique spécifique).
Formule générale :
\[ \alpha = \frac{k_{\text{béton}}}{\rho_{\text{béton}} \times c_{\text{béton}}} \]
Étape 1 : Calcul de la conductivité thermique moyenne du béton
Nous utilisons ici une moyenne pondérée par la fraction volumique des conductivités thermiques de chaque composant.
Formule :
\(k_{\text{béton}} = f_{\text{granulats}} \times k_{\text{granulats}}\) + \(f_{\text{ciment}} \times k_{\text{ciment}}\) + \(f_{\text{eau}} \times k_{\text{eau}}\)
Données :
Granulats :
- \( f_{\text{granulats}} = 0,75 \)
- \( k_{\text{granulats}} = 1,1\, \text{W/(m°C)} \)
Ciment :
- \( f_{\text{ciment}} = 0,15 \)
- \( k_{\text{ciment}} = 0,29\, \text{W/(m°C)} \)
Eau :
- \( f_{\text{eau}} = 0,10 \)
- \( k_{\text{eau}} = 0,58\, \text{W/(m°C)} \)
Calcul :
\[
\begin{aligned}
k_{\text{béton}} &= (0,75 \times 1,1) + (0,15 \times 0,29) + (0,10 \times 0,58) \\
&= 0,825 + 0,0435 + 0,058 \\
&= 0,9265\, \text{W/(m°C)}
\end{aligned}
\]
Étape 2 : Calcul de la diffusivité thermique (Ct)
Avant de calculer, il est nécessaire de convertir la capacité thermique spécifique en unités cohérentes.
- \( c_{\text{béton}} = 0,98\, \text{kJ/(kg°C)} = 980\, \text{J/(kg°C)} \)
Données récapitulatives :
- \( k_{\text{béton}} = 0,9265\, \text{W/(m°C)} \)
- \( \rho_{\text{béton}} = 2515\, \text{kg/m}^3 \)
- \( c_{\text{béton}} = 980\, \text{J/(kg°C)} \)
Calcul :
\[
\begin{aligned}
\alpha &= \frac{0,9265\, \text{W/(m°C)}}{2515\, \text{kg/m}^3 \times 980\, \text{J/(kg°C)}} \\
&= \frac{0,9265}{2515 \times 980} \quad \text{(les unités donnent m}^2\text{/s)} \\
\end{aligned}
\]
\[ \alpha = \frac{0,9265}{2\,464\,700} \approx 3,76 \times 10^{-7}\, \text{m}^2/\text{s} \]
Résultat :
Le coefficient thermique (diffusivité thermique) du béton armé est d’environ \(3,76 \times 10^{-7}\, \text{m}^2/\text{s}\).
Calcul du coefficient thermique (Ct) du béton armé
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