Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne
Comprendre le Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne
Vous êtes ingénieur dans une entreprise spécialisée dans la conception de turbines éoliennes. Afin d’optimiser la conception d’une nouvelle turbine, vous devez évaluer l’efficacité avec laquelle la turbine convertit l’énergie cinétique du vent en énergie électrique, en utilisant le coefficient de puissance \( C_p \).
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Données fournies:
- Vitesse du vent à l’entrée de la turbine : \( V = 12 \) m/s
- Densité de l’air : \( \rho = 1.225 \) kg/m\(^3\)
- Puissance électrique générée par la turbine : \( P = 500 \) kW
- Rayon du rotor de la turbine : \( R = 20 \) m
Questions:
1. Calculez l’aire \( A \) balayée par le rotor.
2. Déterminez la puissance théorique du vent.
3. Calculez le coefficient de puissance \( C_p \) de la turbine.
4. Discutez si la valeur de \( C_p \) obtenue est réaliste en vous basant sur les valeurs typiques qui varient généralement de 0 à 0.59 (limite de Betz).
Questions supplémentaires pour approfondir:
- Comment \( C_p \) changerait-il si la vitesse du vent doublait, toutes les autres variables restant constantes ?
- Quel impact la variation du rayon du rotor aurait-elle sur \( C_p \) ?
Correction : Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne
1. Calcul de l’aire balayée par le rotor
L’aire \( A \) balayée par le rotor est calculée à l’aide de la formule de l’aire d’un cercle :
\[ A = \pi R^2 \]
En substituant le rayon \( R = 20 \) mètres :
\[ A = \pi \times (20)^2 \] \[ A = 1256.64 \, \text{m}^2 \]
2. Détermination de la puissance théorique du vent
La puissance théorique du vent qui traverse l’aire balayée par le rotor est donnée par :
\[ P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \rho A V^3 \]
En substituant les valeurs \( \rho = 1.225 \) kg/m³, \( A = 1256.64 \) m² et \( V = 12 \) m/s :
\[ P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 1256.64 \times (12)^3 \] \[ P_{\text{vent}} = 1330.03 \, \text{kW} \]
3. Calcul du coefficient de puissance \( C_p \)
Le coefficient de puissance \( C_p \) est le rapport entre la puissance électrique générée par la turbine et la puissance théorique du vent :
\[ C_p = \frac{P}{P_{\text{vent}}} \]
Avec \( P = 500 \) kW (donnée) :
\[ C_p = \frac{500}{1330.03} \] \[ C_p \approx 0.376 \]
4. Discussion sur la valeur de \( C_p \)
La valeur de \( C_p \) obtenue est \( 0.376 \). Ce résultat est inférieur à la limite théorique de Betz (0.59), ce qui est attendu pour une turbine éolienne fonctionnelle.
Cette valeur indique une efficacité raisonnable dans la conversion de l’énergie cinétique du vent en énergie électrique, tout en laissant de la marge pour des améliorations potentielles.
Questions supplémentaires pour approfondir
Question 1: Si la vitesse du vent doublait, en gardant toutes les autres variables constantes, la nouvelle puissance théorique du vent serait :
\[ P_{\text{vent}}’ = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 1256.64 \times (24)^3 \] \[ P_{\text{vent}}’ = 10640.24 \, \text{kW} \]
Et le nouveau \( C_p \) serait :
\[ C_p’ = \frac{500}{10640.24} \] \[ C_p’ \approx 0.047 \]
La valeur de \( C_p \) diminue significativement, indiquant une baisse de l’efficacité relative à mesure que la vitesse du vent augmente, potentiellement due à des limites mécaniques ou de conception de la turbine.
Question 2: Si le rayon du rotor augmentait, l’aire \( A \) augmenterait également, ce qui augmenterait \( P_{\text{vent}} \) pour une vitesse du vent constante. Si la turbine peut efficacement convertir l’énergie cinétique supplémentaire captée, cela pourrait potentiellement augmenter \( P \) et \( C_p \).
Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne
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