Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton
Comprendre le Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton
Vous êtes ingénieur en structure pour une société de construction chargée de concevoir un immeuble de bureaux de 5 étages.
Pour soutenir la structure, vous devez concevoir les poteaux en béton armé qui seront utilisés tout au long de l’édifice.
Pour comprendre le Calcul les aciers d’un poteau, cliquez sur le lien.
Données de l’exercice:
- Charge permanente (G) sur un étage: 750 kN (y compris le poids du poteau)
- Charge d’exploitation (Q) sur un étage: 500 kN
- Nombre d’étages soutenus par le poteau: 5
- Matériau: Béton C25/30 et acier de renforcement B500b
- Contraintes admissibles:
- Béton: 17 MPa
- Acier: 435 MPa
- Coefficient de sécurité pour le béton: 1.5
- Coefficient de sécurité pour l’acier: 1.15
- Dimensions du poteau: à déterminer (section carrée)
Questions:
1. Calcul des charges totales: Calculer la charge totale que le poteau doit supporter.
2. Calcul des contraintes: Déterminer la section transversale minimale nécessaire du poteau pour que les contraintes dans le béton et dans l’acier ne dépassent pas les valeurs admissibles.
3. Vérification de la capacité portante: Vérifier si la section choisie est suffisante pour les contraintes calculées.
4. Dimensionnement des armatures: Calculer la quantité nécessaire d’acier de renforcement dans le poteau.
Correction : Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton
1. Calcul des Charges Totales
La charge totale \( F \) que le poteau doit supporter est la somme des charges permanentes \( G \) et des charges d’exploitation \( Q \) pour tous les étages soutenus.
- Charge permanente par étage \( G \): 750 kN
- Charge d’exploitation par étage \( Q \): 500 kN
- Nombre d’étages \( n \): 5
La formule pour calculer la charge totale est :
\[ F = (G + Q) \times n \] \[ F = (750 \, \text{kN} + 500 \, \text{kN}) \times 5 \] \[ F = 6250 \, \text{kN} \]
2. Calcul de la Section Transversale Minimale
La contrainte maximale admissible pour le béton, après application du coefficient de sécurité, est :
\[ \sigma_{b,\text{max}} = \frac{17 \, \text{MPa}}{1.5} \] \[ \sigma_{b,\text{max}} \approx 11.33 \, \text{MPa} \]
Convertissons la charge totale en Newtons pour correspondre à l’unité de contrainte (MPa ou N/mm\(^2\)) :
\[ F = 6250 \, \text{kN} = 6250000 \, \text{N} \]
La section transversale minimale \( A_{\text{min}} \) nécessaire pour que la contrainte dans le béton ne dépasse pas \( \sigma_{b,\text{max}} \) est :
\[ A_{\text{min}} = \frac{F}{\sigma_{b,\text{max}}} \] \[ A_{\text{min}} = \frac{6250000 \, \text{N}}{11.33 \, \text{N/mm}^2} \] \[ A_{\text{min}} \approx 551570 \, \text{mm}^2 \]
Calculons la dimension d’un poteau de section carrée :
\[ a = \sqrt{A_{\text{min}}} \] \[ a = \sqrt{551570 \, \text{mm}^2} \] \[ a \approx 743 \, \text{mm} \]
Nous arrondissons cette mesure à la taille commerciale standard la plus proche, soit 750 mm par côté.
3. Vérification de la Capacité Portante
Si nous adoptons une section de \( 750 \, \text{mm} \times 750 \, \text{mm} \), l’aire réelle \( A_{\text{réel}} \) est :
\[ A_{\text{réel}} = 750 \, \text{mm} \times 750 \, \text{mm} \] \[ A_{\text{réel}} = 562500 \, \text{mm}^2 \]
La contrainte réelle dans le béton \( \sigma_b \) est donc :
\[ \sigma_b = \frac{F}{A_{\text{réel}}} \] \[ \sigma_b = \frac{6250000 \, \text{N}}{562500 \, \text{mm}^2} \] \[ \sigma_b \approx 11.11 \, \text{MPa} \]
Cette contrainte est inférieure à \( \sigma_{b,\text{max}} \), ce qui signifie que la section choisie est adéquate.
4. Dimensionnement des Armatures
Calculons la quantité d’acier de renforcement nécessaire si le pourcentage minimal d’acier est de 1.5% de l’aire de béton :
\[ A_s = 0.015 \times A_{\text{réel}} \] \[ A_s = 0.015 \times 562500 \, \text{mm}^2 \] \[ A_s = 8437.5 \, \text{mm}^2 \]
Ce montant peut être arrondi à environ 8500 mm\(^2\) pour les besoins de renforcement.
Conclusion
Ainsi, pour un poteau de section carrée de 750 mm de côté, avec un renforcement d’environ 8500 mm\(^2\) d’acier, les exigences de charge et de contrainte sont satisfaites.
Cette solution est valide pour les contraintes admissibles du béton et de l’acier, garantissant la sécurité et la stabilité de la structure.
Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton
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