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Calcul des coordonnées en topographie

Calcul des coordonnées en topographie

Calcul des coordonnées en topographie

Contexte : Le calcul de coordonnées par rayonnementMéthode topographique pour déterminer les coordonnées d'un point à partir d'une station connue en mesurant un angle et une distance..

Le rayonnement est l'une des techniques les plus fondamentales en topographie pour lever ou implanter des points. Elle consiste à se placer sur un point connu (la "station"), à s'orienter sur une autre direction connue (la "référence"), puis à mesurer l'angle et la distance vers un nouveau point pour en calculer les coordonnées. Cet exercice simule une situation de terrain classique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à maîtriser le calcul de base du rayonnement, une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur en topographie. Vous appliquerez des formules de trigonométrie pour transformer des mesures polaires (angle, distance) en coordonnées rectangulaires (X, Y).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe du calcul par rayonnement.
  • Calculer le gisement d'une direction à partir d'une référence.
  • Appliquer les formules de calcul de coordonnées (ΔX, ΔY).
  • Déterminer les coordonnées (X, Y) d'un point nouveau.

Données du Levé Topographique

Un géomètre se trouve à la station A, dont les coordonnées sont connues. Il utilise un point de référence R (un clocher) pour orienter son appareil, puis vise le point B dont il doit déterminer les coordonnées. Les mesures de terrain sont consignées ci-dessous.

Données de la Station et de la Référence
Caractéristique Valeur
Coordonnées de la station A XA = 500.00 m, YA = 200.00 m
Coordonnées du point de référence R XR = 500.00 m, YR = 800.00 m
Mesures de terrain depuis A Voir tableau et schéma ci-dessous
Schéma du Levé
Y (Nord) A Direction de Réf. (R) Gisement = 0 gon B D = 75.50m L = 150 gon
Paramètre Symbole Valeur Unité
Lecture angulaire sur Réf. R LAR 0.000 grade (gon)
Lecture angulaire sur Point B LAB 150.000 grade (gon)
Distance horizontale A vers B DhAB 75.50 mètres

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement de la direction de référence A-R.
  2. Calculer le gisement de la direction A-B.
  3. Calculer les projections (ΔX et ΔY) entre A et B.
  4. En déduire les coordonnées du point B (XB, YB).
  5. Vérification : Recalculer la distance et le gisement à partir des coordonnées de A et B.

Les bases du calcul topographique

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux concepts clés : le gisement et les formules de projection qui permettent de passer de mesures polaires (angles, distances) à des coordonnées rectangulaires (X, Y).

1. Le Gisement (G)
Le gisement d'une direction (par exemple AB) est l'angle horizontal mesuré dans le sens horaire, à partir de l'axe des Y (direction du Nord) jusqu'à cette direction. Il est exprimé en grades (gon) et varie de 0 à 400 gon. On le calcule à partir des coordonnées de deux points avec la formule : \[ G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{B}} - X_{\text{A}}}{Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}}\right) + C \] Où C est une constante (0, 200 ou 400 gon) pour ajuster le résultat au bon quadrant.

2. Calcul des Coordonnées par Rayonnement
Connaissant les coordonnées d'un point A, le gisement GAB et la distance horizontale DhAB, on peut calculer les coordonnées du point B grâce aux formules de projection : \[ \Delta X = X_{\text{B}} - X_{\text{A}} = D_{\text{hAB}} \cdot \sin(G_{\text{AB}}) \] \[ \Delta Y = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} = D_{\text{hAB}} \cdot \cos(G_{\text{AB}}) \]

Correction : Calcul des coordonnées en topographie

Question 1 : Calculer le gisement de la direction de référence A-R.

Principe

Le gisement d'une direction est son orientation par rapport au Nord géographique. Pour le calculer, on utilise les coordonnées des deux points qui définissent cette direction. La formule de l'arc tangente nous donne l'angle, et nous devons ensuite l'ajuster au bon quadrant en observant les signes des différences de coordonnées (ΔX et ΔY).

Mini-Cours

Le calcul de gisement est une transformation de coordonnées rectangulaires (X, Y) en coordonnées polaires (Distance, Angle). L'angle obtenu est le gisement. La fonction arctan(ΔX/ΔY) est au cœur de ce calcul. Il est crucial de bien identifier le quadrant pour appliquer la bonne correction angulaire (0, 200 ou 400 gon) afin que le gisement soit compris entre 0 et 400 gon.

Remarque Pédagogique

Avant de vous lancer dans le calcul, faites un petit schéma mental ou sur papier. Placez le point A, puis regardez où se trouve R. Ici, R a le même X que A mais un Y plus grand. Il est donc "droit au-dessus". Cela vous indique immédiatement que la direction est le Nord, et que le gisement doit être de 0 gon.

Normes

Les calculs topographiques en France sont généralement effectués dans un système de projection plan, comme le Lambert-93, qui est rattaché au système géodésique RGF93. Pour cet exercice, nous considérons que nos coordonnées sont déjà dans un tel système plan local.

Formule(s)
\[ G_{\text{AR}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{R}} - X_{\text{A}}}{Y_{\text{R}} - Y_{\text{A}}}\right) + C \]
Hypothèses
  • Les coordonnées des points A et R sont considérées comme exactes et sans erreur.
  • Le système de coordonnées est un système rectangulaire direct (axe Y vers le Nord, axe X vers l'Est).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coordonnées Point A\( (X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}) \)(500.00, 200.00)m
Coordonnées Point R\( (X_{\text{R}}, Y_{\text{R}}) \)(500.00, 800.00)m
Astuces

Pour aller plus vite, identifiez les cas particuliers : si ΔX = 0, le gisement est soit 0 gon (si ΔY > 0) soit 200 gon (si ΔY < 0). Si ΔY = 0, le gisement est soit 100 gon (si ΔX > 0) soit 300 gon (si ΔX < 0).

Schéma (Avant les calculs)
Position des points A et R
Y (N)AR
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de ΔX et ΔY

\[ \Delta X = X_{\text{R}} - X_{\text{A}} = 500.00 - 500.00 = 0.00 \text{ m} \]
\[ \Delta Y = Y_{\text{R}} - Y_{\text{A}} = 800.00 - 200.00 = +600.00 \text{ m} \]

Étape 2 : Analyse du quadrant et calcul

Puisque ΔX = 0 et ΔY > 0, la direction A-R est exactement alignée avec l'axe Y (le Nord). La constante C est donc 0.

\[ G_{\text{AR}} = \arctan\left(\frac{0}{600}\right) = 0 \text{ gon} \]
Réflexions

Un gisement de 0 gon confirme que notre référence est plein Nord. C'est le cas le plus simple et le plus souhaitable pour l'orientation d'un levé, car les lectures angulaires correspondent directement aux gisements.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal choisir la constante C. Toujours vérifier les signes de ΔX et ΔY pour se situer dans le bon quadrant avant de conclure.

Points à retenir

Pour calculer un gisement, il faut : 1. Calculer ΔX et ΔY. 2. Déterminer le quadrant. 3. Appliquer la formule de l'arc tangente avec la bonne constante de correction.

Le saviez-vous ?

Le grade (ou gon) a été introduit en France après la Révolution, en même temps que le système métrique, dans une volonté de décimaliser toutes les unités. Un angle droit vaut 100 gon, ce qui simplifie certains calculs mentaux.

FAQ
Pourquoi le gisement est-il 0 et non 400 gon ?

Par convention, le gisement 0 et le gisement 400 représentent tous deux la même direction (le Nord). On utilise 0 comme point de départ du cercle.

Résultat Final
Le gisement de la direction de référence A-R est de 0.000 gon.
A vous de jouer

Si le point R avait pour coordonnées (400.00, 200.00), quel serait le gisement GAR ?

Question 2 : Calculer le gisement de la direction A-B.

Principe

Le gisement d'une direction visée (A-B) est obtenu en ajoutant la lecture angulaire horizontale (LAB) faite sur le point B au gisement de la direction de référence (GAR) qui a servi à "caler" l'appareil. C'est le principe fondamental de l'orientation d'un levé.

Mini-Cours

Un théodolite ou une station totale mesure des angles horizontaux dans son propre système de référence (le "cercle horizontal"). Pour que ces mesures soient utilisables, il faut les "orienter", c'est-à-dire trouver la constante à leur ajouter pour qu'elles deviennent des gisements. Cette constante est la différence entre le gisement connu de la référence et la lecture faite sur cette référence. Ici, comme LAR = 0 et GAR = 0, la constante est nulle.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous tenez une boussole. Vous l'alignez d'abord sur le Nord (G=0). Ensuite, vous la tournez pour viser un objet. L'angle que vous lisez sur la boussole est directement le gisement de cet objet. C'est exactement ce que nous faisons ici.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul de base, mais les bonnes pratiques en topographie exigent de toujours noter clairement la référence utilisée pour l'orientation.

Formule(s)
\[ G_{\text{AB}} = G_{\text{AR}} + (L_{\text{AB}} - L_{\text{AR}}) \]

Comme \( L_{\text{AR}} = 0 \), la formule se simplifie :

\[ G_{\text{AB}} = G_{\text{AR}} + L_{\text{AB}} \]
Hypothèses
  • L'orientation de l'instrument sur la référence R a été faite sans erreur.
  • La lecture angulaire sur B est exempte d'erreur de mesure.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Gisement de Référence\( G_{\text{AR}} \)0.000gon
Lecture sur Point B\( L_{\text{AB}} \)150.000gon
Astuces

Quand la référence est calée sur 0.000 gon (ce qui est une pratique courante), la lecture angulaire est directement le gisement. Le calcul est donc une simple addition.

Schéma (Avant les calculs)
Orientation et visée de B
AR (G=0)BL=150
Calcul(s)

On additionne les valeurs. Si le résultat dépasse 400, on soustrait 400 pour rester dans un tour d'horizon.

\[ G_{\text{AB}} = 0.000 + 150.000 = 150.000 \text{ gon} \]
Réflexions

Un gisement de 150 gon se situe entre 100 gon (Est) et 200 gon (Sud). Le point B se trouve donc dans le quadrant Sud-Est par rapport à A, ce qui est cohérent avec le schéma de l'énoncé.

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser les lectures ou les gisements. La formule est toujours : Gisement_Visée = Gisement_Référence + (Lecture_Visée - Lecture_Référence).

Points à retenir

L'orientation est l'étape clé qui relie les mesures de l'appareil au système de coordonnées. Le gisement d'un point visé est toujours relatif au gisement de la référence.

Le saviez-vous ?

Les topographes utilisent souvent la méthode du "tour d'horizon" : ils visent plusieurs points et terminent en re-visant le point de départ. La différence entre la première et la dernière lecture sur la référence, qui devrait être nulle, est appelée "erreur de fermeture" et permet de juger de la qualité des mesures.

FAQ
Et si la lecture sur la référence n'était pas 0 ?

Si, par exemple, la lecture sur R était de 50.000 gon, alors on aurait calculé : \( G_{\text{AB}} = G_{\text{AR}} + (L_{\text{AB}} - L_{\text{AR}}) = 0 + (150 - 50) = 100.000 \text{ gon} \).

Résultat Final
Le gisement de la direction A-B est de 150.000 gon.
A vous de jouer

Si la lecture angulaire sur B avait été de 325.000 gon, quel aurait été le gisement GAB ?

Question 3 : Calculer les projections (ΔX et ΔY) entre A et B.

Principe

Les projections, ou "déplacements" en X et Y, sont calculées en utilisant la trigonométrie de base dans un triangle rectangle. Elles transforment les mesures polaires (gisement, distance) en composantes rectangulaires, qui pourront ensuite être ajoutées aux coordonnées de départ.

Mini-Cours

Le vecteur AB a pour longueur la distance DhAB et pour angle par rapport à l'axe Y le gisement GAB. Les projections ΔX et ΔY sont les côtés adjacent et opposé du triangle rectangle formé par ce vecteur et les axes. Le sinus du gisement est lié à la projection sur l'axe des X, et le cosinus à la projection sur l'axe des Y.

Remarque Pédagogique

Visualisez un cercle trigonométrique gradué en 400 gon. Le gisement vous place sur ce cercle. La projection ΔX est la distance horizontale du centre au point (liée au sinus), et ΔY est la distance verticale (liée au cosinus). Les signes de sin(G) et cos(G) vous donneront automatiquement les bons signes pour ΔX et ΔY.

Normes

Ce calcul est une application directe des mathématiques et n'est pas régi par une norme spécifique, mais sa correcte application est fondamentale pour respecter les tolérances de précision des levés topographiques.

Formule(s)
\[ \Delta X_{\text{AB}} = D_{\text{hAB}} \cdot \sin(G_{\text{AB}}) \]
\[ \Delta Y_{\text{AB}} = D_{\text{hAB}} \cdot \cos(G_{\text{AB}}) \]
Hypothèses
  • La distance mesurée est bien la distance horizontale (et non la distance inclinée).
  • Nous travaillons dans un plan euclidien (la courbure de la Terre est négligée, ce qui est valable pour des levés de faible étendue).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Distance Horizontale\( D_{\text{hAB}} \)75.50m
Gisement\( G_{\text{AB}} \)150.000gon
Astuces

Pour un gisement de 150 gon, on est exactement à mi-chemin entre l'Est (100 gon) et le Sud (200 gon). Les valeurs absolues de sin(150) et cos(150) sont donc égales. Les projections \( |\Delta X| \) et \( |\Delta Y| \) seront identiques.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de projection
ABΔXΔY
Calcul(s)

Important : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode GRADES (ou GON).

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{AB}} &= 75.50 \cdot \sin(150 \text{ gon}) \\ &= 75.50 \cdot 0.707106... \\ &= +53.3865... \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{AB}} &= 75.50 \cdot \cos(150 \text{ gon}) \\ &= 75.50 \cdot (-0.707106...) \\ &= -53.3865... \text{ m} \end{aligned} \]
Réflexions

Le ΔX est positif (on va vers l'Est) et le ΔY est négatif (on va vers le Sud). Cela correspond bien à un gisement de 150 gon qui se trouve dans le quadrant Sud-Est.

Points de vigilance

L'erreur N°1 est l'unité d'angle ! Si votre calculatrice est en degrés, sin(150°) = 0.5, ce qui donnerait un résultat complètement faux. Vérifiez toujours le mode de votre calculatrice (DEG, RAD, GRAD).

Points à retenir

La projection sur l'axe des X (Est) est toujours calculée avec le sinus du gisement. La projection sur l'axe des Y (Nord) est toujours calculée avec le cosinus.

Le saviez-vous ?

Les premières tables trigonométriques, essentielles à ces calculs, ont été développées par des astronomes grecs comme Hipparque dès le 2ème siècle avant J.-C., bien avant l'invention des calculatrices !

FAQ
Pourquoi sin(G) pour X et cos(G) pour Y ?

C'est parce que le gisement est mesuré depuis l'axe Y (Nord), et non depuis l'axe X comme c'est souvent le cas en mathématiques pures. L'axe Y devient donc l'axe de référence, associé au cosinus.

Résultat Final
Les projections sont ΔX ≈ +53.39 m et ΔY ≈ -53.39 m.
A vous de jouer

Avec un gisement de 300 gon et une distance de 100m, quelles seraient les projections ΔX et ΔY ?

Question 4 : En déduire les coordonnées du point B (XB, YB).

Principe

C'est l'étape finale du calcul de rayonnement. Pour obtenir les coordonnées du point visé (B), il suffit d'ajouter les projections (ΔX, ΔY) que nous venons de calculer aux coordonnées de la station de départ (A).

Mini-Cours

Ce calcul est une simple addition vectorielle. Le vecteur de position du point B (OB) est égal à la somme du vecteur de position du point A (OA) et du vecteur déplacement de A vers B (AB). En termes de coordonnées, cela se traduit par : \( (X_{\text{B}}, Y_{\text{B}}) = (X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}) + (\Delta X_{\text{AB}}, \Delta Y_{\text{AB}}) \).

Remarque Pédagogique

Pensez-y comme à un trajet : "Je pars du point A connu. Je me déplace de ΔX vers l'Est et de ΔY vers le Nord (ou le Sud si ΔY est négatif). J'arrive au point B." Le calcul ne fait que formaliser ce déplacement.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une opération arithmétique de base.

Formule(s)
\[ X_{\text{B}} = X_{\text{A}} + \Delta X_{\text{AB}} \]
\[ Y_{\text{B}} = Y_{\text{A}} + \Delta Y_{\text{AB}} \]
Hypothèses

Nous supposons que les calculs précédents de ΔX et ΔY sont corrects.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coordonnées Point A\( (X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}) \)(500.000, 200.000)m
Projections\( (\Delta X, \Delta Y) \)(+53.387, -53.387)m
Astuces

Faites attention aux signes ! Une erreur d'inattention en additionnant un nombre négatif est vite arrivée. Double-vérifiez toujours vos additions.

Calcul(s)
\[ X_{\text{B}} = 500.000 + 53.387 = 553.387 \text{ m} \]
\[ Y_{\text{B}} = 200.000 + (-53.387) = 146.613 \text{ m} \]
Réflexions

Les coordonnées obtenues (X=553.39, Y=146.61) sont cohérentes avec notre analyse : X a augmenté (déplacement vers l'Est) et Y a diminué (déplacement vers le Sud).

Points de vigilance

La principale source d'erreur ici est l'arrondi. Il est conseillé de garder toutes les décimales des projections (ΔX, ΔY) dans la mémoire de la calculatrice pour ce calcul final, et de n'arrondir qu'à la toute fin (généralement à 2 ou 3 décimales, soit le millimètre).

Points à retenir

Coordonnées_Arrivée = Coordonnées_Départ + Projections. C'est la formule fondamentale pour "transporter" des coordonnées d'un point à un autre.

Le saviez-vous ?

Les systèmes GPS fonctionnent sur un principe similaire mais en 3D et beaucoup plus complexe. Le récepteur calcule sa distance à plusieurs satellites (dont les positions sont connues) pour en déduire ses propres coordonnées par trilatération.

FAQ
Peut-on faire le calcul en une seule fois ?

Oui, on peut combiner les formules : \( X_{\text{B}} = X_{\text{A}} + D \cdot \sin(G) \) et \( Y_{\text{B}} = Y_{\text{A}} + D \cdot \cos(G) \). C'est ce que font les logiciels de calcul topographique.

Résultat Final
Les coordonnées du point B sont : XB = 553.39 m et YB = 146.61 m.
A vous de jouer

Si ΔX était de -25.50m et ΔY de +40.10m, quelles seraient les coordonnées de B ?

Question 5 : Vérification : Recalculer la distance et le gisement.

Principe

C'est le calcul inverse du rayonnement. En partant des coordonnées de la station A et du point calculé B, nous devons retrouver la distance et le gisement qui étaient à l'origine de notre calcul. Si nous retombons sur les valeurs initiales, nos calculs sont justes. C'est une étape de contrôle cruciale.

Mini-Cours

Pour la distance, on utilise le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle formé par ΔX et ΔY. Pour le gisement, on réutilise la formule de l'arc tangente vue à la première question. C'est la transformation inverse : de rectangulaire vers polaire.

Remarque Pédagogique

Cette vérification est un réflexe à acquérir. Elle permet de détecter la quasi-totalité des erreurs de calcul (mauvais signe, erreur de formule, erreur de mode de calculatrice). Ne sautez jamais cette étape dans un cas réel !

Normes

Les procédures de contrôle et de vérification font partie intégrante des normes de qualité pour les prestations topographiques.

Formule(s)
\[ D_{\text{hAB}} = \sqrt{(X_{\text{B}}-X_{\text{A}})^2 + (Y_{\text{B}}-Y_{\text{A}})^2} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \]
\[ G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + C \]
Hypothèses

Nous utilisons les coordonnées calculées de B comme si elles étaient des données d'entrée.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coordonnées Point A\( (X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}) \)(500.000, 200.000)m
Coordonnées Point B\( (X_{\text{B}}, Y_{\text{B}}) \)(553.387, 146.613)m
Calcul(s)

Étape 1 : Recalcul de ΔX et ΔY

\[ \Delta X = 553.387 - 500.000 = +53.387 \text{ m} \]
\[ \Delta Y = 146.613 - 200.000 = -53.387 \text{ m} \]

Étape 2 : Recalcul de la distance

\[ \begin{aligned} D_{\text{hAB}} &= \sqrt{(53.387)^2 + (-53.387)^2} \\ &= \sqrt{2850.16 + 2850.16} \\ &= \sqrt{5700.32} \\ &\approx 75.50 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : Recalcul du gisement

ΔX > 0 et ΔY < 0, nous sommes dans le quadrant Sud-Est. La correction est C = 200 gon.

\[ \begin{aligned} G_{\text{AB}} &= \arctan\left(\frac{+53.387}{-53.387}\right) + 200 \\ &= \arctan(-1) + 200 \\ &= -50 + 200 \\ &= 150.000 \text{ gon} \end{aligned} \]
Réflexions

Les valeurs recalculées (Distance = 75.50 m, Gisement = 150.000 gon) correspondent parfaitement aux données de l'énoncé et aux calculs intermédiaires. Notre calcul de coordonnées est donc validé.

Points à retenir

Le calcul inverse (coordonnées -> distance/gisement) est le miroir du calcul direct et utilise les mêmes ΔX et ΔY. C'est le meilleur moyen de vérifier son travail.

Résultat Final
Vérification réussie : \( D_{\text{hAB}} = 75.50 \text{ m} \) et \( G_{\text{AB}} = 150.000 \text{ gon} \).

Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement

Utilisez ce simulateur pour voir comment les coordonnées du point B changent en fonction de la lecture angulaire et de la distance mesurée depuis la station A (500, 200).

Paramètres d'Entrée
150.0 gon
75.5 m
Coordonnées Calculées du Point B
Coordonnée XB (m) -
Coordonnée YB (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'un gisement en topographie ?

2. Dans quel quadrant se situe un point dont le gisement est de 150 gon ?

3. La formule correcte pour calculer la projection ΔX est :

4. Si un angle est mesuré en grades (gon), combien de grades y a-t-il dans un cercle complet ?

5. Si ΔX est négatif et ΔY est positif, dans quel quadrant se trouve la direction ?

Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction du Nord (axe Y). Il est la référence angulaire de base en topographie et varie de 0 à 400 grades (gon).
Rayonnement
Méthode de levé topographique qui consiste à déterminer la position de points depuis une seule station connue, en mesurant pour chacun un angle horizontal et une distance.
Grade (ou Gon)
Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. Un angle droit mesure 100 grades.
Calcul des coordonnées en topographie

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