Calcul des coordonnées en topographie
Comprendre le Calcul des coordonnées en topographie
Vous êtes un technicien en topographie chargé de cartographier un nouveau lotissement pour un développement résidentiel.
Pour débuter, vous devez établir un plan précis en mesurant les coordonnées des points clés (sommets) qui délimiteront les futures propriétés.
Pour comprendre le Calcul des altitudes en topographie, cliquez sur le lien.
Données:
- Point de référence (P1) : Coordonnées connues (X₁ = 200 m, Y₁ = 300 m).
- Distance entre les points :
- Distance P1 à P2 = 150 m
- Distance P1 à P3 = 100 m
- Distance P2 à P3 = 120 m
- Angles mesurés depuis le point de référence (P1) :
- Angle P1P2 = 45° par rapport à l’axe des X positif (est)
- Angle P1P3 = 105° par rapport à l’axe des X positif
Questions:
1. Calcul des coordonnées du point P2 :
Utilisez la distance de P1 à P2 et l’angle de P1P2 pour calculer les coordonnées de P2. Les formules pour le calcul des coordonnées à partir d’un point, d’une distance, et d’un angle sont:
- X₂ = X₁ + D₁₂ × cos(θ₁₂)
- Y₂ = Y₁ + D₁₂ × sin(θ₁₂)
2. Calcul des coordonnées du point P3 :
Appliquez une méthode similaire pour P3, en utilisant les données fournies pour l’angle et la distance depuis P1.
3. Vérification de la cohérence :
Une fois les coordonnées de P2 et P3 calculées, vérifiez la cohérence de ces points en mesurant la distance calculée entre P2 et P3 et en la comparant avec la distance donnée.
Correction : Calcul des coordonnées en topographie
1. Calcul des coordonnées du point P2
Données:
- Coordonnées de P1 : \(X_1 = 200\,m\), \(Y_1 = 300\,m\)
- Distance P1 à P2 : \(D_{12} = 150\,m\)
- Angle P1P2 : \(\theta_{12} = 45^\circ\)
Formules:
\[ X_2 = X_1 + D_{12} \cdot \cos(\theta_{12}) \]
\[ Y_2 = Y_1 + D_{12} \cdot \sin(\theta_{12}) \]
Calculs:
\[ X_2 = 200 + 150 \cdot \cos(45^\circ) \] \[ X_2 = 200 + 150 \cdot 0.707 \] \[ X_2 \approx 306.05\,m \]
\[ Y_2 = 300 + 150 \cdot \sin(45^\circ) \] \[ Y_2 = 300 + 150 \cdot 0.707 \] \[ Y_2 \approx 406.05\,m \]
Les coordonnées de P2 sont donc \((306.05, 406.05)\).
2. Calcul des coordonnées du point P3
Données:
- Coordonnées de P1 : \(X_1 = 200\,m\), \(Y_1 = 300\,m\)
- Distance P1 à P3 : \(D_{13} = 100\,m\)
- Angle P1P3 : \(\theta_{13} = 105^\circ\)
Formules:
\[ X_3 = X_1 + D_{13} \cdot \cos(\theta_{13}) \]
\[ Y_3 = Y_1 + D_{13} \cdot \sin(\theta_{13}) \]
Calculs:
\[ X_3 = 200 + 100 \cdot \cos(105^\circ) \] \[ X_3 \approx 200 – 25.8 \] \[ X_3 = 174.2\,m \]
\[ Y_3 = 300 + 100 \cdot \sin(105^\circ) \] \[ Y_3 \approx 300 + 96.5 \] \[ Y_3 = 396.5\,m \]
Les coordonnées de P3 sont donc \((174.2, 396.5)\).
3. Vérification de la cohérence des mesures entre P2 et P3
Formule de la distance:
\[ D_{23} = \sqrt{(X_3 – X_2)^2 + (Y_3 – Y_2)^2} \]
Calculs:
\[ D_{23} = \sqrt{(-131.85)^2 + (-9.55)^2} \] \[ D_{23} \approx \sqrt{17381.9225 + 91.2025} \] \[ D_{23} \approx 132.18\,m \]
La distance calculée entre P2 et P3 est d’environ 132.18 m, ce qui présente une petite erreur par rapport à la distance donnée de 120 m.
Cette différence peut être due à des erreurs de mesure des angles ou de la distance, ou à des erreurs de calcul (arrondissements).
Cette erreur souligne l’importance de la précision dans les mesures topographiques, surtout dans le cadre du développement urbain où chaque mètre compte pour le plan de lotissement.
Calcul des coordonnées en topographie
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