Calcul des coordonnées d’un point en Topographie
Comprendre le Calcul des coordonnées d’un point en Topographie
Vous êtes un topographe travaillant sur le site de construction d’un nouveau parc urbain. Votre tâche consiste à déterminer les coordonnées exactes d’un point clé du site, désigné comme le point A, qui servira de référence pour les futures installations.
Ce point A doit être localisé précisément pour coordonner les travaux des différents corps de métier impliqués dans le projet.
Pour comprendre le Calcul d’Azimuts et Distances, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Point de référence \(B\): Coordonnées \(x_B = 305.25\) m, \(y_B = 512.75\) m.
- Azimut du point B vers le point A : \(150^\circ\).
- Distance entre le point B et le point A : \(120.50\) m.
Questions:
1. Convertir l’azimut en radians pour une utilisation dans les fonctions trigonométriques.
2. Calculer les coordonnées du point A en utilisant les formules suivantes :
- \( x_A = x_B + d \times \sin(\theta) \)
- \( y_A = y_B + d \times \cos(\theta) \)
où \(d\) est la distance entre les points A et B, et \( \theta \) est l’azimut converti en radians.
Correction : Calcul des coordonnées d’un point en Topographie
1. Conversion de l’azimut en radians
L’azimut de \(150^\circ\) doit être converti en radians pour les calculs trigonométriques. La formule pour convertir des degrés en radians est :
\[ \text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \]
Substituons les valeurs :
\[ 150^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{150 \times \pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \approx 2.618 \text{ radians} \]
2. Calcul des coordonnées du point A
Nous utilisons les formules de la trigonométrie pour calculer les déplacements en \(x\) et \(y\) à partir du point B :
- \( x_A = x_B + d \times \sin(\theta) \)
- \( y_A = y_B + d \times \cos(\theta) \)
où \(d\) est la distance entre les points, et \( \theta \) est l’azimut en radians.
Substituons les valeurs :
- Pour \( x_A \) :
\[ x_A = 305.25 + 120.50 \times \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \]
Nous savons que \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\), donc :
\[ x_A = 305.25 + 120.50 \times \frac{1}{2} \] \[ x_A = 305.25 + 60.25 \] \[ x_A = 365.50 \text{ m} \]
- Pour \( y_A \) :
\[ y_A = 512.75 + 120.50 \times \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \]
Nous savons que \(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), donc :
\[ y_A = 512.75 + 120.50 \times -\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y_A \approx 512.75 – 104.37 \] \[ y_A = 408.38 \text{ m} \]
Résultats
Les coordonnées calculées pour le point A, en utilisant les méthodes de trigonométrie et les données initiales, sont :
- \(x_A = 365.50\) m
- \(y_A = 408.38\) m
Ces résultats montrent le déplacement à partir du point B vers le point A sur le site de construction, en tenant compte de l’azimut et de la distance entre les deux points. Ce calcul est crucial pour la précision dans les travaux de topographie, assurant que tous les points de référence sont correctement placés selon le plan du site.
Calcul des coordonnées d’un point en Topographie
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