Calcul de la surface d’un terrain irrégulier
Comprendre le Calcul de la surface d’un terrain irrégulier
Vous êtes un topographe chargé de calculer la surface exacte d’un terrain destiné à un nouveau développement immobilier. Le terrain est irrégulier, situé en périphérie d’une ville et présente plusieurs variations d’altitude.
Données :
- Le terrain est approximativement trapézoïdal.
- Coordonnées des points du terrain (système local) :
- Point A : (30, 40)
- Point B : (60, 90)
- Point C : (130, 95)
- Point D : (100, 50)
- Les distances sont mesurées en mètres.
Questions :
1. Calculez la surface du terrain en utilisant la formule de l’aire d’un polygone quelconque.
2. Discutez de l’impact des variations d’altitude sur la précision de votre calcul de surface et proposez une méthode pour affiner cette mesure.
Correction : Calcul de la surface d’un terrain irrégulier
1. Calcul de la surface
Pour calculer la surface d’un polygone irrégulier lorsque les coordonnées de chaque sommet sont connues, nous pouvons utiliser la formule de l’aire d’un polygone (formule de Gauss ou formule du lacet). Cette méthode est particulièrement utile pour les terrains irréguliers où une simple division en triangles simples n’est pas possible directement.
Formule:
\[ A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} – x_{i+1} y_i) + (x_n y_1 – x_1 y_n) \right| \]
où \((x_i, y_i)\) sont les coordonnées des sommets du polygone.
Données:
- Point A : (30, 40)
- Point B : (60, 90)
- Point C : (130, 95)
- Point D : (100, 50)
Calcul:
Insérons les coordonnées dans la formule:
\[ A = \frac{1}{2} \left| (30 \times 90 + 60 \times 95 + 130 \times 50 + 100 \times 40) – (40 \times 60 + 90 \times 130 + 95 \times 100 + 50 \times 30) \right| \] \[ A = \frac{1}{2} \left| 18900 – 24100 \right| \] \[ A = \frac{1}{2} \left| -5200 \right| \] \[ A = 2600 \, \text{m}^2 \]
2. Impact des variations d’altitude sur la précision
Les variations d’altitude peuvent affecter la précision des calculs de surface car la formule utilisée assume que le terrain est parfaitement plat. Si le terrain est en pente ou vallonné, cela pourrait entraîner une sous-estimation ou surestimation de la surface réelle.
Méthode pour affiner la mesure:
Pour obtenir une mesure plus précise de la surface sur un terrain en pente, on pourrait utiliser des méthodes de levé topographique plus complexes qui prennent en compte les différences d’altitude, comme un levé GPS ou un scanner laser 3D. Ces technologies permettent de mesurer des points avec une précision en trois dimensions et donc de calculer des surfaces plus exactes sur des terrains vallonnés.
Calcul de la surface d’un terrain irrégulier
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