Calcul de la Profondeur d’une Semelle
Comprendre le Calcul de la Profondeur d’une Semelle
Dans le cadre de la construction d’un bâtiment résidentiel, un ingénieur géotechnique doit concevoir les fondations d’une semelle rectangulaire. La semelle doit supporter une colonne centrale qui transmet une charge importante au sol. La sécurité et la stabilité de la structure dépendent de la profondeur correcte de la semelle pour éviter tout tassement différentiel et assurer une distribution uniforme des charges.
Pour comprendre le Calcul de la contrainte ultime sur une semelle, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Charge transmise par la colonne (P) : 1200 kN
- Dimensions de la semelle (B x L) : 2 m x 3 m (B est la largeur et L est la longueur)
- Contrainte admissible du sol (σ) : 150 kPa
- Poids spécifique du sol (γ) : 18 kN/m³
- Facteur de sécurité (FS) : 3
- Angle de frottement interne du sol (φ) : 30°
Question de l’exercice:
Calculer la profondeur minimale nécessaire (D) pour la semelle rectangulaire pour que les critères de sécurité et de performance soient respectés.
Correction : Calcul de la Profondeur d’une Semelle
1. Rappel des données et du contexte
Données fournies :
- Charge transmise par la colonne : \( P = 1200 \, \text{kN} \)
- Dimensions de la semelle : \( B = 2 \, \text{m} \) (largeur), \( L = 3 \, \text{m} \) (longueur)
- Contrainte admissible du sol : \( \sigma_{\text{adm}} = 150 \, \text{kPa} \)
- Poids spécifique du sol : \( \gamma = 18 \, \text{kN/m}^3 \)
- Facteur de sécurité : \( FS = 3 \)
- Angle de frottement interne du sol : \( \phi = 30^\circ \)
Contexte :
Le calcul de la profondeur d’une semelle intervient dans le cadre de la conception géotechnique. Pour une semelle en sol cohésif (ou peu cohésif) où la résistance provient essentiellement de l’angle de frottement, la capacité portante ultime (\( q_{\text{ult}} \)) s’exprime à l’aide des coefficients (\( N_q \) et \( N_\gamma \)) dépendant de \(\phi\). Le facteur de sécurité est utilisé pour obtenir la contrainte de calcul (ou contrainte admissible) sur le sol.
2. Principe du calcul et explications
Pour que la semelle soit stable, la capacité portante ultime du sol doit, une fois divisée par le facteur de sécurité, être au moins égale à la contrainte moyenne imposée par la charge transmise. On utilise donc le critère suivant :
Capacité portante ultime (pour un sol sans cohésion)
La formule générale est :
\[ q_{\text{ult}} = N_q \cdot (\gamma \, D) + \frac{1}{2} \gamma \, B \, N_\gamma \]
où :
- \( N_q \) et \( N_\gamma \) sont des coefficients de capacité portante dépendant de \(\phi\).
- \( \gamma \, D \) représente l’accroissement de la pression effective avec la profondeur.
- La deuxième partie correspond à l’effet de la largeur de la semelle.
Contrainte de calcul sur le sol :
\[ q_{\text{calc}} = \frac{q_{\text{ult}}}{FS} \]
Condition de stabilité :
La pression moyenne transmise par la colonne sur la semelle doit être inférieure ou égale à la contrainte de calcul :
\[ \frac{P}{B \cdot L} \le q_{\text{calc}} \]
3. Formule appliquée et choix des coefficients
Pour un angle de frottement \(\phi = 30^\circ\), on utilise généralement des valeurs approchées (issues de tables géotechniques) :
- \( N_q \approx 18.4 \)
- \( N_\gamma \approx 15.1 \)
Remarque : Ces valeurs peuvent varier légèrement selon les sources, mais elles sont ici retenues pour le calcul.
Expression de \( q_{\text{ult}} \) :
\[ q_{\text{ult}} = N_q \cdot (\gamma \, D) + \frac{1}{2} \gamma \, B \, N_\gamma \] \[ q_{\text{ult}} = 18.4 \cdot (18\,D) + \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 2 \cdot 15.1 \] \[ q_{\text{ult}} = 331.2\,D + 271.8 \quad \text{(kPa)} \]
Contrainte de calcul (admissible) :
\[ q_{\text{calc}} = \frac{q_{\text{ult}}}{FS} \] \[ q_{\text{calc}} = \frac{331.2\,D + 271.8}{3} \quad \text{(kPa)} \]
4. Calcul de la contrainte appliquée
La charge transmise par la colonne s’exprime sous forme de pression moyenne sur la semelle :
\[ q_{\text{appliquée}} = \frac{P}{B \cdot L} \] \[ q_{\text{appliquée}} = \frac{1200 \, \text{kN}}{2 \, \text{m} \times 3 \, \text{m}} \] \[ q_{\text{appliquée}} = \frac{1200}{6} \] \[ q_{\text{appliquée}} = 200 \, \text{kPa} \]
5. Établissement de l’équation et résolution pour \( D \)
Pour que la conception soit sécuritaire, on doit avoir :
\[ q_{\text{calc}} \ge q_{\text{appliquée}} \]
C’est-à-dire :
\[ \frac{331.2\,D + 271.8}{3} \ge 200 \]
Multiplier par 3 :
\[ 331.2\,D + 271.8 \ge 600 \]
Isoler le terme en \( D \) :
\[ 331.2\,D \ge 600 – 271.8 = 328.2 \]
D’où :
\[ D \ge \frac{328.2}{331.2} \approx 0,99 \, \text{m} \]
Conclusion
La profondeur minimale nécessaire pour la semelle, afin de satisfaire aux critères de sécurité et de performance, est donc d’environ 1,0 m.
Calcul de la Profondeur d’une Semelle
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