Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau
Comprendre le Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau
Un réservoir cylindrique vertical est rempli d’eau jusqu’à une hauteur \(h\) de 10 mètres. Le réservoir est ouvert à l’atmosphère à son sommet. On souhaite déterminer la pression à divers points du réservoir pour vérifier l’intégrité de sa structure sous la contrainte hydrostatique.
Calcul la pression hydrostatique, cliquez sur le lien.
Données:
- Hauteur du liquide \(h\): 10 m
- Densité de l’eau \(\rho\): \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
- Accélération due à la gravité \(g\): \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
- Pression atmosphérique \(p_0\): \(101325 \, \text{Pa}\)
Questions:
1. Calculer la pression hydrostatique \(p\) à la base du réservoir.
2. Déterminer la pression à mi-hauteur du réservoir.
3. Calculer la variation de la pression entre le sommet et la base du réservoir.
Correction : Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau
1. Calcul de la pression hydrostatique à la base du réservoir
À la base du réservoir, la hauteur de la colonne d’eau est \( h = 10 \) m. La pression totale est donc la somme de la pression atmosphérique et de la pression due à la colonne d’eau.
Formule :
\[ p_{\text{base}} = p_0 + \rho \times g \times h \]
Données :
- \( h = 10 \) m
- \( \rho = 1000 \) kg/m\(^3\)
- \( g = 9.81 \) m/s\(^2\)
- \( p_0 = 101325 \) Pa
Calcul :
\[ p_{\text{base}} = 101325\ \text{Pa} + (1000\ \text{kg/m}^3 \times 9.81\ \text{m/s}^2 \times 10\ \text{m}) \] \[ p_{\text{base}} = 101325\ \text{Pa} + 98100\ \text{Pa} \] \[ p_{\text{base}} = 199425\ \text{Pa} \]
2. Détermination de la pression à mi-hauteur du réservoir
À mi-hauteur, la colonne d’eau mesure \( h = \frac{10}{2} = 5 \) m. On applique la même formule en utilisant cette hauteur.
Formule :
\[ p_{\text{mi-hauteur}} = p_0 + \rho \times g \times h \]
Données :
- \( h = 5 \) m
- \( \rho = 1000 \) kg/m\(^3\)
- \( g = 9.81 \) m/s\(^2\)
- \( p_0 = 101325 \) Pa
Calcul :
\[ p_{\text{mi-hauteur}} = 101325\ \text{Pa} + (1000\ \text{kg/m}^3 \times 9.81\ \text{m/s}^2 \times 5\ \text{m}) \] \[ p_{\text{mi-hauteur}} = 101325\ \text{Pa} + 49050\ \text{Pa} \] \[ p_{\text{mi-hauteur}} = 150375\ \text{Pa} \]
3. Calcul de la variation de la pression entre le sommet et la base du réservoir
La variation de pression \(\Delta p\) est uniquement due à la différence de hauteur de la colonne d’eau entre le sommet (où \( h = 0 \) m) et la base (où \( h = 10 \) m).
Formule :
\[ \Delta p = \rho \times g \times h \]
Données :
- \( h = 10 \) m
- \( \rho = 1000 \) kg/m\(^3\)
- \( g = 9.81 \) m/s\(^2\)
Calcul :
\[ \Delta p = 1000\ \text{kg/m}^3 \times 9.81\ \text{m/s}^2 \times 10\ \text{m} \] \[ \Delta p = 98100\ \text{Pa} \]
Conclusion
1. Pression à la base du réservoir :
\( p_{\text{base}} = 199425\ \text{Pa} \)
2. Pression à mi-hauteur du réservoir :
\( p_{\text{mi-hauteur}} = 150375\ \text{Pa} \)
3. Variation de la pression entre le sommet et la base :
\(\Delta p = 98100\ \text{Pa} \)
Calcul de la Pression dans un Réservoir d’Eau
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