Calcul de la force de précontrainte

Comprendre le Calcul de la force de précontrainte

Un pont en béton précontraint doit être conçu pour supporter des charges de trafic importantes. L’objectif principal de cet exercice est de calculer la force de précontrainte requise pour que le tablier du pont résiste aux charges sans subir de fissures ni de déformations inacceptables.

Comprendre le Calcul des charges de trafic et le calcul d’une Poutre en Béton Précontraint

Données:

• Longueur du tablier du pont: \(L = 50\,m\)
• Largeur du tablier du pont: \(w = 10\,m\)
• Épaisseur du tablier du pont: \(t = 0.25\,m\)
• Densité du béton: \(\rho = 2500\,kg/m^3\)
• Contrainte admissible du béton: \(\sigma_{adm} = 10\,MPa\)
• Module d’élasticité du béton: \(E_b = 30\,GPa\)
• Coefficient de sécurité: \(\gamma = 1.5\)
• Charges dues au trafic (réparties uniformément): \(q = 10\,kN/m^2\)

Question:

1. Calcul de la charge permanente: Calculez la charge permanente agissant sur le tablier due au poids propre du béton.

2. Calcul de la charge totale: Déterminez la charge totale sur le tablier en ajoutant les charges dues au trafic à la charge permanente.

3. Calcul de la contrainte initiale: Calculez la contrainte initiale dans le béton due à la précontrainte nécessaire pour que la contrainte totale dans le béton sous charge totale ne dépasse pas la contrainte admissible.

4. Calcul de la force de précontrainte: Déterminez la force de précontrainte nécessaire en utilisant les contraintes initiales calculées et en tenant compte du coefficient de sécurité.

Correction : Calcul de la force de précontrainte

1. Calcul de la charge permanente

Formule générale:

\[ Q_{\text{perm}} = \rho \times V \]

où:

• \(\rho\) est la densité du béton (\(2500 \, \text{kg/m}^3\))
• \(V\) est le volume du béton

Calcul du volume:

\[ V = L \times w \times t \] \[ V = 50 \, \text{m} \times 10 \, \text{m} \times 0.25 \, \text{m} \] \[ V = 125 \, \text{m}^3 \]

Substitution dans la formule:

\[ Q_{\text{perm}} = 2500 \, \text{kg/m}^3 \times 125 \, \text{m}^3 \] \[ Q_{\text{perm}} = 312500 \, \text{kg} \]

Conversion en Newtons (en utilisant \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)):

\[ Q_{\text{perm}} = 312500 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \] \[ Q_{\text{perm}} = 3065625 \, \text{N} \]

2. Calcul de la charge totale

Charge due au trafic:

\[ Q_{\text{trafic}} = q \times A \]

où:

• \(q\) est la charge du trafic (\(10 \, \text{kN/m}^2\))
• \(A\) est l’aire du tablier

\[ A = L \times w \] \[ A = 50 \, \text{m} \times 10 \, \text{m} \] \[ A = 500 \, \text{m}^2 \]

\[ Q_{\text{trafic}} = 10 \, \text{kN/m}^2 \times 500 \, \text{m}^2 \] \[ Q_{\text{trafic}} = 5000 \, \text{kN} \] \[ Q_{\text{trafic}} = 5000000 \, \text{N} \]

Charge totale:

\[ Q_{\text{total}} = Q_{\text{perm}} + Q_{\text{trafic}} \] \[ Q_{\text{total}} = 3065625 \, \text{N} + 5000000 \, \text{N} \] \[ Q_{\text{total}} = 8065625 \, \text{N} \]

3. Calcul de la contrainte initiale nécessaire

Contrainte maximale admissible:

\[ \sigma_{\text{adm}} = 10 \, \text{MPa} = 10 \times 10^6 \, \text{Pa} \]

Aire de la section transversale du tablier:

\[ A = w \times t \] \[ A = 10 \, \text{m} \times 0.25 \, \text{m} \] \[ A = 2.5 \, \text{m}^2 \]

Contrainte totale sous charge:

\[ \sigma = \frac{Q_{\text{total}}}{A} \] \[ \sigma = \frac{8065625 \, \text{N}}{2.5 \, \text{m}^2} \] \[ \sigma = 3226250 \, \text{Pa} \]

Contrainte initiale nécessaire:

\[ \sigma_{\text{init}} = \sigma_{\text{adm}} – \sigma \] \[ \sigma_{\text{init}} = 10 \times 10^6 \, \text{Pa} – 3226250 \, \text{Pa} \] \[ \sigma_{\text{init}} = 6773750 \, \text{Pa} \]

4. Calcul de la force de précontrainte

Correction avec coefficient de sécurité:

\[ \sigma_{\text{init\_corrected}} = \sigma_{\text{init}} \times \gamma \] \[ \sigma_{\text{init\_corrected}} = 6773750 \, \text{Pa} \times 1.5 \] \[ \sigma_{\text{init\_corrected}} = 10160625 \, \text{Pa} \]

Force de précontrainte:

\[ F_p = \sigma_{\text{init\_corrected}} \times A \] \[ F_p = 10160625 \, \text{Pa} \times 2.5 \, \text{m}^2 \] \[ F_p = 25401562.5 \, \text{N} \]

Calcul de la force de précontrainte

D’autres exercices de béton précontraint:

• Poutre en Béton Précontraint
• Calcul des Efforts en Béton Précontraint
• Vérification de la Section de Précontrainte