Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre

Comprendre le Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre

Une poutre en acier, simplement appuyée aux deux extrémités, est soumise à une charge uniformément répartie. L’objectif est de calculer la flèche maximale à mi-travée de cette poutre pour comprendre les déformations qui interviennent sous l’effet de la charge.

Pour comprendre le Calcul de flèche d’une poutre et le Déplacement de l’Extrémité Libre, cliquez sur les liens.

Données de l’Exercice:

Longueur de la poutre \( L \): 6 m
Charge uniformément répartie \( q \): 500 N/m
Module d’élasticité de l’acier \( E \): 210 GPa
Moment d’inertie de la section transversale \( I \): 8000 cm\(^4\) (convertir en m\(^4\) pour les calculs).

Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre

Questions:

1. Convertir le moment d’inertie de cm\(^4\) à m\(^4\) en utilisant le facteur de conversion approprié.

2. Calculer la flèche maximale à mi-travée.

3. Analyser l’impact de la modification des paramètres de la poutre sur la valeur de la flèche.

Correction : Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre

1. Conversion du Moment d’Inertie

Donnée initiale :

\( I = 8000\; \text{cm}^4 \)

Pour utiliser la formule en unités SI, il faut convertir \( \text{cm}^4 \) en \( \text{m}^4 \).
Sachant que :

\[ 1\; \text{cm} = 0,01\; \text{m} \] \[ \Rightarrow \quad 1\; \text{cm}^4 = (0,01)^4\; \text{m}^4 = 1 \times 10^{-8}\; \text{m}^4 \]

Calcul :

\[ I = 8000\; \text{cm}^4 \times 1 \times 10^{-8}\; \text{m}^4/\text{cm}^4 \] \[ I = 8 \times 10^{-5}\; \text{m}^4 \]

2. Calcul de la Flèche Maximale à Mi-Travée

Données de l’exercice :

Longueur de la poutre, \( L = 6\; \text{m} \)
Charge uniformément répartie, \( q = 500\; \text{N/m} \)
Module d’élasticité, \( E = 210\; \text{GPa} = 210 \times 10^9\; \text{N/m}^2 \)
Moment d’inertie, \( I = 8 \times 10^{-5}\; \text{m}^4 \) (après conversion)

Formule utilisée :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, la flèche maximale à mi-travée est donnée par :

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5\, q\, L^4}{384\, E\, I} \]

Calcul détaillé :

1. Calcul de \( L^4 \) :

\[ L^4 = 6^4 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296\; \text{m}^4 \]

2. Calcul du numérateur :

\[ 5\, q\, L^4 = 5 \times 500 \times 1296 \] \[ = 2500 \times 1296 = 3\,240\,000\; \text{N}\cdot\text{m}^4 \]

3. Calcul du dénominateur :

\[ 384\, E\, I = 384 \times \left(210 \times 10^9\right) \times \left(8 \times 10^{-5}\right) \]

D’abord, calculons \( E \times I \) :

\[ E \times I = 210 \times 10^9 \times 8 \times 10^{-5} \] \[ = 1680 \times 10^{9-5} \] \[ = 1680 \times 10^4 \] \[ = 1,68 \times 10^7\; \text{N}\cdot\text{m}^2 \]

Ensuite,

\[ 384\, E\, I = 384 \times 1,68 \times 10^7 \] \[ = 645,12 \times 10^7 \] \[ = 6,4512 \times 10^9\; \text{N}\cdot\text{m}^2 \]

4. Calcul de la flèche :

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{3\,240\,000}{6,4512 \times 10^9} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 5,02 \times 10^{-4}\; \text{m} \]

Ce qui correspond à environ 0,502 mm.

3. Analyse de l’Impact des Modifications des Paramètres

Impact de \( L \) (longueur) :
La flèche varie en \( L^4 \). Ainsi, une légère augmentation de la longueur aura un effet très prononcé sur la flèche. Par exemple, si \( L \) est multiplié par 1,1, alors \( L^4 \) sera multiplié par \( 1,1^4 \approx 1,46 \), augmentant ainsi la flèche de 46%.

Impact de \( q \) (charge) :
La flèche est directement proportionnelle à la charge. Une augmentation de \( q \) se traduit par une augmentation proportionnelle de la flèche. Si la charge double, la flèche double également.

Impact de \( E \) (module d’élasticité) :
La flèche est inversement proportionnelle au module d’élasticité. Un matériau avec un \( E \) plus élevé (plus rigide) conduira à une flèche plus faible. Ainsi, si \( E \) augmente de 10%, la flèche diminue d’environ 10%.

Impact de \( I \) (moment d’inertie) :
De même, la flèche est inversement proportionnelle au moment d’inertie. Une section ayant un \( I \) plus élevé (plus résistante à la flexion) réduit la déformation. Par exemple, augmenter \( I \) de 20% réduira la flèche d’environ 20%.

Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre

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