Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre
📝 Situation du Projet
Vous avez intégré l'équipe structure du bureau d'études "MetalStruct Solutions", mandaté par le CHU de Nantes pour la conception de l'ouvrage d'art "Horizon". Cette passerelle piétonne aérienne est un maillon logistique critique : elle doit permettre le transit fluide des brancards, du personnel soignant et des équipements sensibles entre le pôle historique des "Urgences" et le nouveau bâtiment "Laboratoires & Recherche", situé de l'autre côté d'une voirie de livraison active.
L'architecte du projet, soucieux de l'intégration visuelle dans ce site hospitalier dense, a imposé une structure métallique élancée, minimisant l'impact visuel. Cependant, cette finesse structurelle pose un défi technique majeur : la souplesse. Une poutre trop fine risque de vibrer ou de fléchir de manière perceptible au passage des piétons, créant un inconfort voire un sentiment d'insécurité inacceptable pour un environnement hospitalier. Votre mission est donc de valider que la déformation verticale (la flèche) reste sous un seuil strict de confort, garantissant la rigidité ressentie par les usagers.
En tant qu'ingénieur structure, vous devez calculer la flèche maximale (déplacement vertical) à mi-travée de la poutre principale sous les charges de service (ELS) et vérifier sa conformité par rapport au critère de confort imposé par l'Eurocode 3 (\(L/300\)).
"Attention jeune collègue ! Ne confonds surtout pas l'ELU (État Limite Ultime - on vérifie que ça ne casse pas avec des coefficients majorateurs 1.35/1.5) et l'ELS (État Limite de Service - on vérifie la déformation avec des charges non majorées). Ici, on veut du réalisme pour le confort de l'usager. Surveille tes unités : l'inertie est souvent en \(cm^4\) dans les catalogues, mais tes calculs doivent être homogènes (en mètres ou mm) !"
L'étude repose sur une modélisation simplifiée mais réaliste d'une poutre isostatique sur deux appuis simples. Les données ci-dessous sont issues du prédimensionnement effectué en phase APS (Avant-Projet Sommaire) et des catalogues de l'aciériste ArcelorMittal.
📚 Référentiel Normatif
L'étude s'inscrit dans le cadre réglementaire européen obligatoire pour tout ouvrage public :
Eurocode 0 (NF EN 1990) Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1)Ces normes définissent respectivement les principes de combinaison des charges (ELS) et les règles spécifiques de calcul pour les structures en acier (modules, critères de flèche).
Le choix s'est porté sur un acier de nuance S355, offrant un excellent compromis entre résistance mécanique et coût. Le profilé retenu est un IPE 400 (poutrelle en I à ailes parallèles), sélectionné pour sa forte inertie de flexion par rapport à sa masse linéique, idéal pour limiter les flèches.
| ACIER DE CONSTRUCTION S355 | |
| Module de Young (Élasticité) | \(E = 210\,000\) MPa |
| Limite élastique | \(f_{\text{y}} = 355\) MPa |
| PROFILÉ IPE 400 (Poutre) | |
| Hauteur de section (\(h\)) | 400 mm |
| Largeur de semelle (\(b\)) | 180 mm |
| Moment d'Inertie de flexion (\(I_y\)) | \(23\,130\) cm\(^4\) |
📐 Géométrie Globale
La passerelle franchit la voirie d'une seule traite, sans appui intermédiaire.
- Portée de calcul (\(L\)): 12.00 m (entre nus d'appuis)
- Conditions d'appuis : Appuis simples (Isostatique : une rotule et un appui glissant)
⚖️ Chargement (Linéique)
Les charges appliquées sur la poutre ont été évaluées par "descente de charges". Elles incluent le poids propre de la structure, le bac collaborant béton, le revêtement de sol (Charges Permanentes \(G\)) ainsi qu'une charge standardisée représentant une foule compacte de piétons (Charges d'Exploitation \(Q\)).
E. Protocole de Résolution
Pour valider la conformité de la poutre vis-à-vis des critères de déformation, nous suivrons rigoureusement les étapes suivantes :
Calcul de la charge ELS
Détermination de la charge linéaire pondérée selon la combinaison de service caractéristique (\(G+Q\)).
Rigidité de Flexion
Calcul de la rigidité \(EI\) en unités cohérentes (N et mm) pour préparer l'équation de la déformée.
Calcul de la Flèche \(f\)
Application de la formule théorique de la flèche maximale à mi-travée pour une poutre isostatique.
Vérification Normative
Comparaison de la flèche réelle calculée avec la flèche limite admissible (\(L/300\)) pour valider le dimensionnement.
Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre
🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette première étape est d'établir avec précision la charge linéique totale, notée \(q_{\text{ser}}\), qui s'exercera sur la poutre maîtresse durant sa phase d'exploitation courante. Cette valeur est fondamentale car elle constitue "l'input" direct de notre modèle mathématique de déformation. Une erreur ici se répercuterait proportionnellement sur le résultat final de la flèche.
📚 Référentiel
Eurocode 0 (NF EN 1990) - Bases de calcul des structuresDans le domaine du génie civil, la distinction entre les états limites est cruciale. Ici, nous nous intéressons à la déformabilité et au confort, ce qui nous place directement dans le cadre de l'État Limite de Service (ELS). Contrairement à l'État Limite Ultime (ELU), qui vise à prévenir la ruine de l'ouvrage par rupture et utilise des coefficients de sécurité majorateurs (généralement 1.35 pour les charges permanentes et 1.5 pour les charges variables), l'ELS se concentre sur le fonctionnement normal de la structure. Par conséquent, nous devons utiliser la combinaison de charges dite caractéristique (ou rare), où les charges sont prises à leur valeur nominale, sans coefficient de majoration de sécurité, car nous cherchons à estimer la déformation réelle attendue.
L'Eurocode 0 définit plusieurs combinaisons ELS : Quasi-permanente (pour les effets à long terme comme le fluage), Fréquente (pour les fissurations) et Caractéristique (pour les dommages irréversibles). Pour une vérification de flèche standard sur une structure métallique, la combinaison caractéristique est la norme : \(G + Q\). Elle représente le scénario où toutes les charges sont présentes simultanément à leur intensité nominale.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Charges Permanentes (Poids propre + Superstructures) | \(G\) | 3.5 kN/m |
| Charges d'Exploitation (Foule) | \(Q\) | 4.0 kN/m |
En Résistance des Matériaux, jongler avec les puissances de 10 est la source d'erreur numéro un. Pour éviter cela, il est fortement recommandé de convertir toutes les forces en Newtons (N) et toutes les longueurs en millimètres (mm) dès le début du calcul.
Il existe une astuce mnémotechnique très puissante : 1 kN/m est strictement équivalent à 1 N/mm. Cela simplifie considérablement les écritures !
📝 Calcul Détaillé
1. Application numérique de la combinaison de charges :Nous procédons à la sommation des valeurs caractéristiques données dans l'énoncé.
L'opération est une simple addition arithmétique car les vecteurs force sont colinéaires et de même sens (gravité).
2. Conversion en unités cohérentes pour la RDM :Pour préparer le calcul de la flèche qui se fera en millimètres, nous convertissons la charge linéique.
La simplification par 1000 au numérateur et au dénominateur confirme l'équivalence directe des unités.
Une charge de 7.5 kN/m correspond environ à 750 kg par mètre linéaire. C'est un ordre de grandeur tout à fait réaliste pour une passerelle publique supportant son propre poids, un platelage et une foule dense.
Ne jamais confondre ELS (service, charges non pondérées) et ELU (ultime, charges pondérées par 1.35G + 1.5Q). Utiliser les coefficients ELU ici conduirait à surestimer la flèche de manière irréaliste et à surdimensionner la structure inutilement.
🎯 Objectif
Cette étape consiste à quantifier la "rigidité de flexion" de la poutre, notée \(EI\). C'est une grandeur physique qui représente la capacité intrinsèque de l'élément structurel à résister à la courbure lorsqu'il est soumis à un moment fléchissant. Plus cette valeur est élevée, plus la poutre est difficile à courber, et donc plus la flèche sera faible.
📚 Référentiel
Catalogue Profilés Métalliques (ArcelorMittal)La rigidité est le produit de deux termes fondamentaux :
1. Le matériau (\(E\)) : Le Module de Young caractérise la raideur du matériau lui-même. Pour l'acier, il est constant quelle que soit la nuance (S235, S355, S460...), ce qui est un piège classique pour les débutants. Changer de nuance d'acier n'améliore pas la flèche !
2. La géométrie (\(I\)) : Le Moment Quadratique (ou inertie) caractérise la répartition de la matière par rapport à l'axe neutre. C'est ici que le choix du profilé (IPE vs HEA) joue un rôle majeur.
Le défi ici est purement numérique : les catalogues donnent l'inertie en \(cm^4\) alors que le module de Young est en \(MPa\) (\(N/mm^2\)). Il est impératif de tout convertir en \(mm\) avant de multiplier.
Le module de Young \(E\) (ou module d'élasticité longitudinale) est une constante intrinsèque au matériau, représentant la pente de la courbe contrainte-déformation dans le domaine élastique. Pour tous les aciers de construction, \(E \approx 210\,000 \text{ MPa}\). Le moment d'inertie \(I\) (ou moment quadratique) mesure la résistance d'une section à la rotation autour d'un axe. Pour un profilé en I, la matière est concentrée dans les semelles, loin de l'axe neutre, ce qui maximise \(I\) et donc la rigidité.
Le produit de rigidité se calcule simplement par multiplication :
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur Catalogue | Unité Cible |
|---|---|---|
| Module de Young (\(E\)) | 210 000 MPa | N/mm² |
| Moment d'Inertie (\(I_y\)) | 23 130 cm\(^4\) | mm\(^4\) |
Rappel mathématique essentiel : \(1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}\).
Par conséquent, \(1 \text{ cm}^4 = (10 \text{ mm})^4 = 10^4 \text{ mm}^4 = 10\,000 \text{ mm}^4\).
Pour passer des \(cm^4\) aux \(mm^4\), il faut donc ajouter 4 zéros à la valeur du catalogue.
📝 Calculs Détaillés
1. Conversion de l'Inertie \(I_y\) :On applique le facteur de conversion \(10^4\) déterminé ci-dessus.
L'écriture en puissance de 10 simplifie souvent la lecture : \(2.313 \times 10^8 \text{ mm}^4\).
2. Calcul du Produit de Rigidité \(EI\) :Multiplication des termes en unités cohérentes.
L'ordre de grandeur (\(10^{13}\)) peut sembler astronomique, mais il est parfaitement normal lorsqu'on travaille avec des modules en MPa (\(10^5\)) et des inerties en mm\(^4\) (\(10^8\)). Une erreur d'unité ici (oubli du \(10^4\) pour les cm\(^4\)) fausserait le résultat final d'un facteur 10 000 !
Ne confondez pas l'inertie de flexion \(I_y\) (flexion forte) avec \(I_z\) (flexion faible). Pour une poutre chargée verticalement, c'est toujours l'inertie la plus forte qui travaille (sauf déversement, non traité ici).
🎯 Objectif
C'est le cœur de l'exercice : calculer la valeur physique concrète du déplacement vertical maximal de la poutre sous l'effet de la charge. Cette valeur, appelée "flèche" (\(f\) ou \(w\)), se situe géométriquement exactement au milieu de la portée (à \(x = L/2\)) pour une poutre symétrique chargée uniformément.
📚 Référentiel
Théorie des Poutres (RDM) - Formulaire des poutres isostatiquesNous sommes face au cas le plus classique de la Résistance des Matériaux : la poutre sur deux appuis simples avec charge répartie. La déformée théorique suit une équation polynomiale de degré 4. L'intégration de l'équation de la courbure \(y'' = -M(x)/EI\) mène à une formule célèbre que tout ingénieur doit connaître par cœur. Attention, cette formule n'est valable QUE pour ce cas de figure précis (appuis simples + charge uniforme).
La flèche est la double intégrale de la courbure. Pour une charge uniforme \(q\), le moment fléchissant \(M(x)\) est parabolique. En intégrant deux fois \(M(x)/EI\), on obtient une fonction en \(x^4\). Le coefficient \(5/384\) provient de l'intégration des conditions aux limites (flèche nulle aux appuis). C'est le résultat exact de l'équation différentielle.
La flèche maximale à mi-travée est donnée par :
Où \(L\) est la portée totale, \(q_{\text{ser}}\) la charge linéique, et \(EI\) la rigidité.
📋 Données d'Entrée
| Variable | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Charge (\(q_{\text{ser}}\)) | 7.5 | N/mm |
| Portée (\(L\)) | 12 000 | mm |
| Rigidité (\(EI\)) | \(4.8573 \times 10^{13}\) | N.mm² |
Utilisez la mémoire de votre calculatrice pour stocker le terme \(EI\). Recopier à la main des nombres à 14 chiffres est une source d'erreur fréquente.
📝 Calcul Détaillé par étapes
1. Calcul du Numérateur (\(5 q L^4\)) :Le terme \(L^4\) va générer un nombre gigantesque. Soyez vigilant avec la calculette.
On note ici l'importance de travailler en notation scientifique pour ne pas perdre l'ordre de grandeur.
2. Calcul du Dénominateur (\(384 EI\)) :On applique le facteur constant de la formule au terme de rigidité.
Le rapport des deux nous donne la flèche en mm.
4 cm de déformation pour une portée de 12 m représente un ratio de \(1/287\)ème de la portée. C'est un ordre de grandeur classique pour des structures métalliques (généralement entre \(1/200\) et \(1/500\)). Si vous aviez trouvé 4 mm ou 4 mètres, il y aurait eu une erreur manifeste !
La formule \(5qL^4/384EI\) n'est valable QUE pour une charge uniformément répartie. Si la charge était ponctuelle au centre, la formule serait \(PL^3/48EI\). L'identification correcte du cas de charge est primordiale.
🎯 Objectif
Avoir un chiffre (41.69 mm) ne suffit pas. L'étape finale et décisive est de confronter ce résultat à la réglementation. Est-ce "trop" ? Est-ce acceptable ? Nous allons comparer la flèche calculée à la "flèche limite admissible" définie par l'Eurocode pour garantir le confort des usagers.
📚 Référentiel
Eurocode 3 - Critères de service (ELS)Les critères de flèche varient selon l'usage. Pour une toiture industrielle inaccessible, on tolère \(L/200\). Pour un plancher courant, \(L/250\). Mais ici, nous sommes sur une passerelle publique hospitalière. Le critère n'est pas seulement esthétique ("la poutre a l'air courbée"), il est psychologique et vibratoire. Une poutre trop souple rebondit sous les pas, ce qui est anxiogène. L'Eurocode recommande souvent pour ce type d'ouvrage recevant du public un critère plus sévère de \(L/300\), voire \(L/500\) pour le verre. L'énoncé impose \(L/300\).
Les limites de flèche ne sont pas liées à la résistance du matériau (il ne va pas casser), mais à la "fonctionnalité" de l'ouvrage. Elles garantissent : l'intégrité des éléments fragiles supportés (vitrages, cloisons), le confort des occupants (vibrations) et l'esthétique générale.
La condition de conformité s'écrit simplement :
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Flèche calculée (\(f_{\text{max}}\)) | 41.69 mm |
| Portée (\(L\)) | 12 000 mm |
| Critère imposé | L/300 |
Calculez toujours le ratio \(\frac{f_{\text{max}}}{f_{\text{lim}}}\). S'il est inférieur à 1, c'est bon. S'il est supérieur à 1, c'est mauvais. Ce pourcentage permet de quantifier le dépassement.
📝 Calcul de Conformité
1. Calcul de la flèche limite admissible (\(f_{\text{lim}}\)) :On divise la portée par le critère normatif.
On compare la réalité calculée (\(f_{\text{max}}\)) à la limite autorisée (\(f_{\text{lim}}\)).
L'ordre de grandeur est cohérent (ratio de 104%). Nous ne sommes pas face à une erreur de calcul grossière (comme un ratio de 1000%), mais face à un sous-dimensionnement léger. La poutre est "presque" bonne, mais en ingénierie structurelle, "presque" n'est pas suffisant pour valider une note de calculs.
Puisque la poutre ne vérifie pas le critère, l'ingénieur doit proposer des solutions. Voici les options classiques :
1. Changer de profilé : Passer à un IPE 450 augmenterait l'inertie \(I_y\) de manière significative (33 740 cm4 vs 23 130 cm4), réduisant drastiquement la flèche. C'est la solution la plus simple.
2. Contre-flèche : On peut demander à l'atelier de fabriquer la poutre avec une courbure inverse vers le haut (de 20 ou 30 mm). Une partie de la flèche due au poids propre (\(G\)) serait ainsi "compensée" géométriquement. Cela permettrait de valider le profilé IPE 400 si la flèche due aux seules surcharges variables reste acceptable.
3. Changer d'acier ? NON ! Attention au piège. Passer d'un acier S355 à un S460 augmenterait la résistance (ELU), mais ne changerait STRICTEMENT RIEN à la flèche, car le module de Young \(E\) est le même pour tous les aciers (210 000 MPa).
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 12/10/2024 | Création du document | Ing. Martin |
- Eurocode 0 (Combinaisons ELS) & Eurocode 3 (Acier)
- Critère de flèche imposé par le CCTP : L/300
| Portée (L) | 12.00 m |
| Profilé | IPE 400 (S355) |
| Charge ELS (q_ser) | 7.50 kN/m |
| Inertie (Iy) | 23 130 cm4 |
Vérification de la déformation verticale à mi-travée sous combinaison caractéristique.
L'Étudiant
Expert Senior
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