Calcul d’Azimuts et Distances

Comprendre le Calcul d’Azimuts et Distances

Vous êtes un géomètre chargé de réaliser un levé topographique pour un nouveau site de développement urbain. Avant de commencer le levé détaillé du site, vous devez établir une nouvelle station de référence à partir de laquelle tous les autres points seront mesurés.

Pour comprendre le Calcul de distance en topographie, cliquez sur le lien.

Données Fournies:

Point A (Station existante)
– Coordonnées : \(X_A = 250.00\,m\), \(Y_A = 450.00\,m\)
– Azimut vers Point B : \(145^\circ 30’\)
– Distance jusqu’à Point B : \(120\,m\)
Point B (Repère temporaire)
Vous devez calculer ses coordonnées.

Questions:

1. Calculer les coordonnées du Point B.

2. Établir une nouvelle station, le Point C, situé à \(100\,m\) à un azimut de \(215^\circ 45’\) à partir du Point B.

Correction : Calcul d’Azimuts et Distances

1. Calcul des coordonnées du Point B

a) Données du Point A et du relevé vers B

Point A (Station existante) :

\( X_A = 250.00 \, m \)
\( Y_A = 450.00 \, m \)

Relevé vers B :

Azimut \( \alpha_{AB} = 145^\circ30′ \)
Distance \( d_{AB} = 120 \, m \)

Remarque : En topographie, l’azimut est mesuré à partir du nord dans le sens horaire. Ainsi, la formule de calcul des coordonnées d’un point B à partir du point A est :

\[ X_B = X_A + d_{AB} \times \sin(\alpha_{AB}) \]

\[ Y_B = Y_A + d_{AB} \times \cos(\alpha_{AB}) \]

b) Transformation de l’azimut

L’azimut \( 145^\circ30′ \) se convertit en nombre décimal :

\[ 145^\circ30′ = 145.50^\circ \]

c) Calcul des composantes de déplacement

Composante Est (\(\Delta X\)) :

\[ \Delta X = 120 \times \sin(145.50^\circ) \]

En rappelant que \( \sin(145.50^\circ) = \sin(180^\circ – 145.50^\circ) = \sin(34.50^\circ) \) et \(\sin(34.50^\circ) \approx 0.567\), on a :

\[ \Delta X \approx 120 \times 0.567 \] \[ \Delta X = 68.04 \, m \]

Composante Nord (\(\Delta Y\)) :

\[ \Delta Y = 120 \times \cos(145.50^\circ) \]

Or, \( \cos(145.50^\circ) = -\cos(34.50^\circ) \) avec \(\cos(34.50^\circ) \approx 0.829\) donne :

\[ \Delta Y \approx 120 \times (-0.829) \] \[ \Delta Y = -99.48 \, m \]

d) Calcul des coordonnées du Point B

En substituant dans les formules :

\[ X_B = 250.00 + 68.04 \] \[ X_B \approx 318.04 \, m \]

\[ Y_B = 450.00 – 99.48 \] \[ Y_B \approx 350.52 \, m \]

Coordonnées du Point B :
\( (318.04 \, m,\ 350.52 \, m) \)

2. Calcul des coordonnées du Point C

a) Données du relevé depuis B

Point B (déjà calculé) :

\( X_B = 318.04 \, m \)
\( Y_B = 350.52 \, m \)

Relevé vers C :

Azimut \( \alpha_{BC} = 215^\circ45′ \)
Distance \( d_{BC} = 100 \, m \)

b) Transformation de l’azimut

L’azimut \( 215^\circ45′ \) se convertit en nombre décimal :

\[ 215^\circ45′ = 215.75^\circ \]

c) Calcul des composantes de déplacement

Composante Est (\(\Delta X\)) :

\[ \Delta X = 100 \times \sin(215.75^\circ) \]

Comme \( 215.75^\circ = 180^\circ + 35.75^\circ \), alors \(\sin(215.75^\circ) = -\sin(35.75^\circ)\) avec \(\sin(35.75^\circ) \approx 0.586\), ce qui donne :

\[ \Delta X \approx 100 \times (-0.586) \] \[ \Delta X = -58.60 \, m \]

Composante Nord (\(\Delta Y\)) :

\[ \Delta Y = 100 \times \cos(215.75^\circ) \]

Avec \( \cos(215.75^\circ) = -\cos(35.75^\circ)\) et \(\cos(35.75^\circ) \approx 0.812\), on obtient :

\[ \Delta Y \approx 100 \times (-0.812) \] \[ \Delta Y = -81.20 \, m \]

d) Calcul des coordonnées du Point C

En utilisant les coordonnées de B :

\[ X_C = X_B + \Delta X \] \[ X_C = 318.04 – 58.60 \] \[ X_C \approx 259.44 \, m \]

\[ Y_C = Y_B + \Delta Y \] \[ Y_C = 350.52 – 81.20 \] \[ Y_C \approx 269.32 \, m \]

Coordonnées du Point C :
\( (259.44 \, m,\ 269.32 \, m) \)

Conclusion

1. Point B : \( (318.04 \, m,\ 350.52 \, m) \)

2. Point C : \( (259.44 \, m,\ 269.32 \, m) \)

Calcul d’Azimuts et Distances

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