EGC

Analyse d’un Système Fermé

Analyse d'un Système Fermé en Thermodynamique

Analyse d’un Système Fermé : Compression Polytropique d’un Gaz Parfait

Contexte : La thermodynamique.

Cet exercice porte sur l'analyse d'un système ferméUn système qui peut échanger de l'énergie (chaleur, travail) avec son environnement, mais pas de matière., un concept fondamental en thermodynamique. Nous allons étudier la compression d'une masse d'air dans un cylindre-piston, un processus que l'on retrouve dans les moteurs à combustion interne, les compresseurs et de nombreux autres systèmes industriels. Nous modéliserons l'air comme un gaz parfaitUn gaz théorique composé de particules sans volume propre et sans interactions entre elles, suivant la loi PV=mRT. subissant une transformation polytropiqueUne transformation thermodynamique qui suit la loi PVⁿ = constante, où n est l'indice polytropique..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer le Premier Principe de la thermodynamique, un des piliers de la physique, pour quantifier les échanges d'énergie (travail et chaleur) et la variation d'une propriété d'état (énergie interne) lors d'un processus courant en ingénierie.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le Premier Principe de la thermodynamique à un système fermé.
  • Calculer le travail de frontière mobile (\(W\)) pour une transformation polytropique.
  • Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) pour un gaz parfait.
  • Calculer le transfert de chaleur (\(Q\)) en utilisant le bilan énergétique.

Données de l'étude

Un assemblage cylindre-piston contient une masse d'air, initialement à 100 kPa et occupant un volume de 0,4 m³. L'air subit un processus de compression polytropique jusqu'à un volume final de 0,1 m³. L'indice polytropique de la transformation est de 1,3. On considère l'air comme un gaz parfait.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Fluide Air (assimilé à un gaz parfait)
Masse (m) 0,5 kg
Type de transformation Compression Polytropique (\(PV^{1,3} = \text{Cte}\))
Schéma du Système Cylindre-Piston
État Initial (1) V₁ = 0,4 m³ État Final (2) V₂ = 0,1 m³ Compression
Paramètre Description Valeur Unité
\(P_{\text{1}}\) Pression initiale 100 kPa
\(V_{\text{1}}\) Volume initial 0,4 \(\text{m}^3\)
\(V_{\text{2}}\) Volume final 0,1 \(\text{m}^3\)
\(n\) Indice polytropique 1,3 -
\(c_{\text{v}}\) Capacité thermique massique à volume constant (air) 0,718 kJ/kg·K
\(R\) Constante spécifique du gaz (air) 0,287 kJ/kg·K

Questions à traiter

  1. Calculer la pression finale \(P_{\text{2}}\).
  2. Calculer le travail (\(W\)) échangé pendant la compression.
  3. Calculer les températures initiale (\(T_{\text{1}}\)) et finale (\(T_{\text{2}}\)).
  4. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du système.
  5. Déterminer la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée avec le milieu extérieur.

Les bases sur le Premier Principe et les Gaz Parfaits

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de trois outils théoriques principaux : le premier principe de la thermodynamique pour les systèmes fermés, la loi des gaz parfaits et les relations spécifiques aux transformations polytropiques.

1. Le Premier Principe de la Thermodynamique (Système Fermé)
Ce principe est une expression de la conservation de l'énergie. Pour un système fermé subissant une transformation, la variation de son énergie interne (\(\Delta U\)) est égale à la somme de la chaleur (\(Q\)) et du travail (\(W\)) échangés avec l'extérieur. \[ \Delta U = Q + W \] Avec la convention de signe suivante : \(Q > 0\) si la chaleur est reçue par le système, \(W > 0\) si le travail est reçu par le système (compression).

2. Le Gaz Parfait et son Énergie Interne
L'état d'un gaz parfait est décrit par l'équation d'état : \(PV = mRT\). Une propriété remarquable des gaz parfaits est que leur énergie interne ne dépend que de leur température. Sa variation se calcule par : \[ \Delta U = m c_{\text{v}} (T_{\text{2}} - T_{\text{1}}) \]

3. La Transformation Polytropique
C'est une transformation qui suit la loi \(PV^n = \text{constante}\). Le travail échangé lors d'une telle transformation entre un état 1 et un état 2 est donné par la formule : \[ W_{\text{1} \to \text{2}} = \frac{P_{\text{2}} V_{\text{2}} - P_{\text{1}} V_{\text{1}}}{1-n} \] Ce travail représente le travail effectué PAR le système. Le travail reçu sera l'opposé : \(W_{\text{reçu}} = -W_{\text{1} \to \text{2}}\).

Correction : Analyse d'un Système Fermé

Question 1 : Calculer la pression finale \(P_{\text{2}}\).

Principe

Pour une transformation polytropique, la relation \(PV^n\) est constante. Cela signifie que le produit de la pression et du volume élevé à la puissance n à l'état initial est égal à ce même produit à l'état final. C'est ce lien qui nous permet de trouver la pression finale.

Mini-Cours

Les transformations polytropiques sont des modèles généralisés qui peuvent représenter diverses transformations réelles avec échange de chaleur. L'indice 'n' caractérise la nature de l'échange thermique. Par exemple, pour l'air (\(\gamma \approx 1,4\)), un indice \(n\) compris entre 1 et 1,4 indique une compression avec un refroidissement simultané.

Remarque Pédagogique

La première étape est toujours d'identifier le type de transformation. Ici, le mot "polytropique" est la clé. Il nous oriente immédiatement vers la famille des lois en \(PV^n = \text{Cte}\). Votre travail consiste à choisir la bonne formule associée à ce processus.

Normes

Les lois de la thermodynamique, comme les relations polytropiques, ne sont pas des "normes" au sens réglementaire mais des principes physiques fondamentaux et universellement reconnus qui décrivent le comportement de l'énergie et de la matière.

Formule(s)

La loi de la transformation polytropique nous donne :

\[ P_{\text{1}} V_{\text{1}}^n = P_{\text{2}} V_{\text{2}}^n \]

En isolant \(P_{\text{2}}\), on obtient :

\[ P_{\text{2}} = P_{\text{1}} \left( \frac{V_{\text{1}}}{V_{\text{2}}} \right)^n \]
Hypothèses

Nous posons les hypothèses suivantes pour que nos calculs soient valides :

  • La transformation est "quasi-statique", c'est-à-dire suffisamment lente pour que le système soit à l'équilibre à chaque instant.
  • L'air se comporte comme un gaz parfait.
  • L'indice polytropique 'n' reste constant pendant toute la compression.
Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs pertinentes de l'énoncé :

ParamètreSymboleValeurUnité
Pression initiale\(P_{\text{1}}\)100kPa
Volume initial\(V_{\text{1}}\)0,4\(\text{m}^3\)
Volume final\(V_{\text{2}}\)0,1\(\text{m}^3\)
Indice polytropique\(n\)1,3-
Astuces

Avant de calculer, utilisez votre intuition physique. Le volume est divisé par 4 (\(V_{\text{1}}/V_{\text{2}} = 4\)). C'est une compression, donc la pression finale \(P_{\text{2}}\) doit être significativement supérieure à \(P_{\text{1}}\). Le rapport sera plus grand que 4 car l'exposant n est supérieur à 1.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons le processus sur un diagramme Pression-Volume (P-V). Nous partons d'un point 1 (basse pression, grand volume) et nous nous déplaçons vers un point 2 (haute pression, petit volume) en suivant une courbe.

Diagramme P-V qualitatif
Pression (P)Volume (V)1 (P₁, V₁)2 (P₂, V₂)
Calcul(s)

Calcul de la pression finale

\[ \begin{aligned} P_{\text{2}} &= P_{\text{1}} \left( \frac{V_{\text{1}}}{V_{\text{2}}} \right)^n \\ &= 100 \text{ kPa} \times \left( \frac{0,4 \text{ m}^{\text{3}}}{0,1 \text{ m}^{\text{3}}} \right)^{1,3} \\ &= 100 \times (4)^{1,3} \\ &\approx 100 \times 6,9644 \\ &\Rightarrow P_{\text{2}} \approx 696,44 \text{ kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme P-V peut maintenant être annoté avec la valeur calculée.

Diagramme P-V quantitatif
P [kPa]V [m³]1(0.4, 100)2(0.1, 696.4)696.41000.10.4
Réflexions

Le résultat montre que la pression a été multipliée par presque 7 alors que le volume n'a été divisé que par 4. C'est l'effet de l'exposant \(n > 1\), qui traduit l'échauffement du gaz pendant la compression, augmentant d'autant plus la pression finale.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une mauvaise utilisation de la calculatrice pour la fonction puissance (\(x^y\)). Assurez-vous de bien utiliser les parenthèses, surtout pour le rapport des volumes. Ici \((V_1/V_2)\) est simple, mais ce n'est pas toujours le cas.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Pour un processus polytropique, \(PV^n\) est constant.
  • Formule Essentielle : \(P_{\text{2}} = P_{\text{1}} (V_{\text{1}}/V_{\text{2}})^n\).
  • Point de Vigilance Majeur : Attention à la manipulation de l'exposant 'n' sur votre calculatrice.
Le saviez-vous ?

Les moteurs diesel n'ont pas de bougies d'allumage. Ils utilisent ce principe de compression : l'air est comprimé si fortement (rapports de 14:1 à 25:1) que sa température s'élève à plus de 500°C, ce qui suffit à enflammer spontanément le carburant injecté.

FAQ

Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape.

Pourquoi la pression n'est-elle pas simplement 4 fois plus grande si le volume est 4 fois plus petit ?

Ce serait le cas si la température était constante (loi de Boyle-Mariotte, n=1). Ici, la compression échauffe le gaz, et cette augmentation de température contribue à une augmentation supplémentaire de la pression, d'où un facteur supérieur à 4.

Résultat Final
La pression finale du système est d'environ 696,4 kPa.
A vous de jouer

Quelle serait la pression finale si la compression était adiabatique pour l'air (considérez \(n=\gamma=1,4\)) ?

Question 2 : Calculer le travail (\(W\)) échangé pendant la compression.

Principe

Le travail est de l'énergie transférée en raison d'une force agissant sur une distance. En thermodynamique, pour un système cylindre-piston, c'est la pression (force par unité de surface) qui pousse le piston (déplacement). On appelle cela le "travail de frontière mobile".

Mini-Cours

Le travail de frontière mobile est représenté graphiquement par l'aire sous la courbe de la transformation sur un diagramme P-V. La formule \(W = (P_2V_2 - P_1V_1)/(1-n)\) est le résultat du calcul de cette aire (l'intégrale de \(\int_1^2 P dV\)) pour une courbe de type \(P = C/V^n\).

Remarque Pédagogique

Soyez très attentif à la convention de signe que vous utilisez. Dans cet exercice (et en ingénierie), nous considérons que le travail reçu par le système est positif. Comme on comprime le gaz, on lui fournit de l'énergie : on s'attend donc à un travail \(W > 0\).

Normes

La convention de signe pour le travail (\(W>0\) si reçu par le système) est recommandée par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (IUPAC) et est la plus courante en ingénierie. D'autres domaines (comme la physique fondamentale) utilisent parfois la convention inverse.

Formule(s)

Le travail reçu par le système pour un processus polytropique est donné par :

\[ W = - \frac{P_{\text{2}} V_{\text{2}} - P_{\text{1}} V_{\text{1}}}{1-n} = \frac{P_{\text{2}} V_{\text{2}} - P_{\text{1}} V_{\text{1}}}{n-1} \]
Hypothèses

En plus des hypothèses précédentes, nous supposons qu'il n'y a pas de frottements entre le piston et le cylindre. Le travail calculé est donc le travail thermodynamique pur.

Donnée(s)

Nous utilisons les données initiales et le résultat de la question 1 :

ParamètreSymboleValeurUnité
Pression initiale\(P_{\text{1}}\)100kPa
Volume initial\(V_{\text{1}}\)0,4\(\text{m}^3\)
Pression finale\(P_{\text{2}}\)696,44kPa
Volume final\(V_{\text{2}}\)0,1\(\text{m}^3\)
Indice polytropique\(n\)1,3-
Astuces

Le produit \(P \times V\) a la dimension d'une énergie. Si vous utilisez des Pascals (N/m²) et des m³, vous obtiendrez des Joules. Si vous utilisez des kPa et des m³, vous obtiendrez directement des kiloJoules (kJ), ce qui peut faire gagner du temps !

Schéma (Avant les calculs)

L'aire hachurée sous la courbe représente le travail effectué sur le gaz.

Représentation du Travail sur le Diagramme P-V
PV12Aire = Travail
Calcul(s)

Calcul du travail

\[ \begin{aligned} W &= \frac{P_{\text{2}} V_{\text{2}} - P_{\text{1}} V_{\text{1}}}{n-1} \\ &= \frac{(696,44 \text{ kPa} \times 0,1 \text{ m}^{\text{3}}) - (100 \text{ kPa} \times 0,4 \text{ m}^{\text{3}})}{1,3 - 1} \\ &= \frac{69,644 \text{ kJ} - 40 \text{ kJ}}{0,3} \\ &= \frac{29,644}{0,3} \\ &\Rightarrow W \approx 98,81 \text{ kJ} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Une fois le travail calculé, on peut représenter les flux d'énergie. Une flèche entrant dans le système représente le travail fourni.

Flux de Travail
SYSTÈMEW = +98.8 kJ
Réflexions

Le travail est positif, ce qui confirme que de l'énergie a été fournie au système pour le comprimer. Cette quantité d'énergie de 98,8 kJ est considérable, elle correspond à l'énergie nécessaire pour soulever une masse de 1 tonne sur une hauteur de 10 mètres.

Points de vigilance

Attention à la convention de signe ! L'erreur classique est d'oublier le signe ou d'utiliser le dénominateur (\(1-n\)) au lieu de (\(n-1\)) sans ajuster le numérateur, ce qui inverserait le signe du résultat. Une compression doit toujours correspondre à un travail reçu (\(W>0\)) dans notre convention.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Le travail de frontière est l'aire sous la courbe P-V.
  • Formule Essentielle : \(W = (P_{\text{2}}V_{\text{2}} - P_{\text{1}}V_{\text{1}})/(n-1)\) pour le travail reçu.
  • Point de Vigilance Majeur : La cohérence des unités (kPa et m³ donnent des kJ) et le signe du travail.
Le saviez-vous ?

James Watt, en améliorant la machine à vapeur, a défini l'unité de "cheval-vapeur" pour comparer la puissance de ses machines à celle des chevaux. Un cheval-vapeur (ch) équivaut à environ 735,5 Watts. Le travail de 98,8 kJ calculé ici, s'il était effectué en une seconde, nécessiterait une puissance de 98,8 kW, soit environ 134 chevaux !

FAQ

Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape.

Que se passerait-il si n=1 ? La formule a un zéro au dénominateur !

Si n=1 (transformation isotherme), la formule du travail change. L'intégration de \(\int P dV\) donne un résultat différent : \(W = P_{\text{1}} V_{\text{1}} \ln(V_{\text{1}}/V_{\text{2}})\). Il est crucial d'identifier ce cas particulier.

Résultat Final
Le travail reçu par le système pendant la compression est d'environ 98,8 kJ.
A vous de jouer

Quel serait le travail reçu si la compression était isotherme (\(n=1\)) ? Utilisez la formule \(W = P_{\text{1}} V_{\text{1}} \ln(V_{\text{1}}/V_{\text{2}})\).

Question 3 : Calculer les températures initiale (\(T_{\text{1}}\)) et finale (\(T_{\text{2}}\)).

Principe

La loi des gaz parfaits (\(PV=mRT\)) est une équation d'état. Elle relie les propriétés P, V et T. Si deux de ces propriétés sont connues (ainsi que la masse de gaz), la troisième peut être déterminée. Nous allons appliquer cette loi aux états initial et final.

Mini-Cours

La température en thermodynamique est une mesure de l'énergie cinétique moyenne des molécules d'un gaz. La loi des gaz parfaits montre que cette énergie (liée à T) est directement proportionnelle au produit de la pression et du volume. La constante de gaz \(R\) est un facteur de proportionnalité spécifique à chaque gaz.

Remarque Pédagogique

C'est une étape cruciale qui fait le lien entre les propriétés "mécaniques" (P, V) et la propriété "thermique" (T). N'oubliez jamais que la température dans toutes les formules de thermodynamique doit être exprimée en Kelvin (K), l'échelle de température absolue.

Normes

L'utilisation du Kelvin comme unité de température thermodynamique est une convention fondamentale du Système International d'unités (SI).

Formule(s)

L'équation d'état des gaz parfaits, réarrangée pour trouver T :

\[ T = \frac{PV}{mR} \]
Hypothèses

L'hypothèse principale ici est que l'air se comporte comme un gaz parfait dans les conditions de pression et de température de l'exercice, ce qui est une approximation très raisonnable.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression/Volume initiaux\(P_{\text{1}}, V_{\text{1}}\)100 kPa, 0.4 m³-
Pression/Volume finaux\(P_{\text{2}}, V_{\text{2}}\)696.44 kPa, 0.1 m³-
Masse d'air\(m\)0,5kg
Constante de l'air\(R\)0,287kJ/kg·K
Astuces

Assurez-vous que les unités de R sont cohérentes avec celles de P et V. Ici, R est en kJ/kg·K, P en kPa et V en m³. Le produit \(P \times V\) est donc en kJ, ce qui est cohérent et donnera une température directement en Kelvin.

Schéma (Avant les calculs)

Les états 1 et 2 se placent sur des courbes de température constante (isothermes) différentes.

Trajectoire à travers les Isothermes
PVIsotherme T₁Isotherme T₂12
Calcul(s)

Calcul de la température initiale \(T_1\)

\[ \begin{aligned} T_{\text{1}} &= \frac{P_{\text{1}} V_{\text{1}}}{m R} \\ &= \frac{100 \text{ kPa} \times 0,4 \text{ m}^{\text{3}}}{0,5 \text{ kg} \times 0,287 \text{ kJ/kg·K}} \\ &= \frac{40}{0,1435} \\ &\Rightarrow T_{\text{1}} \approx 278,75 \text{ K} \end{aligned} \]

Calcul de la température finale \(T_2\)

\[ \begin{aligned} T_{\text{2}} &= \frac{P_{\text{2}} V_{\text{2}}}{m R} \\ &= \frac{696,44 \text{ kPa} \times 0,1 \text{ m}^{\text{3}}}{0,5 \text{ kg} \times 0,287 \text{ kJ/kg·K}} \\ &= \frac{69,644}{0,1435} \\ &\Rightarrow T_{\text{2}} \approx 485,32 \text{ K} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme P-V peut être mis à jour en ajoutant les valeurs des températures pour chaque isotherme.

Trajectoire à travers les Isothermes (avec valeurs)
PVT₁ ≈ 279 KT₂ ≈ 485 K12
Réflexions

La température augmente de plus de 200 K (ou 200°C). C'est une augmentation considérable et la conséquence directe du travail de compression qui a été "stocké" en partie sous forme d'agitation moléculaire (énergie interne).

Points de vigilance

La principale source d'erreur est l'oubli de la conversion des températures de Celsius en Kelvin (T(K) = T(°C) + 273,15) si les données étaient fournies en °C. Ici, elles sont calculées directement en K, mais il faut s'en souvenir pour l'interprétation.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : La loi des gaz parfaits relie P, V et T.
  • Formule Essentielle : \(T = PV/mR\).
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours utiliser la température absolue (Kelvin) dans les calculs.
Le saviez-vous ?

Lord Kelvin a introduit l'échelle de température absolue en 1848. Le zéro absolu (0 K) est la température la plus basse possible, où les particules d'un système ont le minimum d'énergie cinétique. Il est impossible de l'atteindre, mais les scientifiques en laboratoire s'en sont approchés à quelques milliardièmes de degré près !

FAQ

Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape.

Pouvait-on trouver T2 sans passer par P2 ?

Oui ! Pour une transformation polytropique d'un gaz parfait, on peut démontrer la relation \(T_2/T_1 = (V_1/V_2)^{n-1}\). En utilisant cette formule : \(T_{\text{2}} = 278,75 \times (4)^{1,3-1} = 278,75 \times 4^{0,3} \approx 485,32\) K. C'est un excellent moyen de vérifier la cohérence de vos calculs.

Résultat Final
La température initiale est \(T_{\text{1}} \approx 278,8\) K et la température finale est \(T_{\text{2}} \approx 485,3\) K.
A vous de jouer

Si le gaz était de l'Hélium (\(R = 2,077 \text{ kJ/kg·K}\)), quelle serait sa température initiale \(T_{\text{1}}\) (en K) ?

Question 4 : Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)).

Principe

L'énergie interne (\(U\)) représente l'énergie contenue dans le système au niveau microscopique (agitation des molécules). Pour un gaz parfait, cette énergie ne dépend que de la température. La variation \(\Delta U\) est donc directement liée à la variation de température \(\Delta T\).

Mini-Cours

La capacité thermique à volume constant, \(c_{\text{v}}\), est le coefficient qui relie la variation de température à la variation d'énergie interne. Physiquement, \(c_{\text{v}}\) représente la quantité d'énergie qu'il faut fournir à 1 kg de substance pour augmenter sa température de 1 K, si son volume est maintenu constant.

Remarque Pédagogique

Même si le volume change pendant notre transformation, la formule pour \(\Delta U\) utilise \(c_{\text{v}}\) et non \(c_{\text{p}}\). C'est une propriété fondamentale des gaz parfaits : la variation d'énergie interne est la même pour toute transformation entre deux températures T1 et T2, qu'elle soit isochore, isobare ou polytropique.

Normes

Le concept d'énergie interne est une conséquence directe de la Première Loi de la Thermodynamique, formulée par des scientifiques comme Joule, Clausius et Helmholtz au 19ème siècle.

Formule(s)

La variation d'énergie interne pour un gaz parfait :

\[ \Delta U = m c_{\text{v}} (T_{\text{2}} - T_{\text{1}}) \]
Hypothèses

Nous supposons que la capacité thermique \(c_{\text{v}}\) de l'air est constante sur l'intervalle de température [T1, T2]. C'est une bonne approximation pour des variations de température modérées.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Masse d'air\(m\)0,5kg
Capacité thermique\(c_{\text{v}}\)0,718kJ/kg·K
Température initiale\(T_{\text{1}}\)278,75K
Température finale\(T_{\text{2}}\)485,32K
Astuces

Le signe de \(\Delta U\) doit toujours être le même que celui de \(\Delta T\). Ici, la température a augmenté (\(T_{\text{2}} > T_{\text{1}}\)), donc on s'attend à ce que \(\Delta U\) soit positif.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser l'augmentation de température, qui est directement responsable de l'augmentation de l'énergie interne.

Visualisation de l'Augmentation de Température
T₁=279KT₂=485K
Calcul(s)

Calcul de la variation d'énergie interne

\[ \begin{aligned} \Delta U &= m c_{\text{v}} (T_{\text{2}} - T_{\text{1}}) \\ &= 0,5 \text{ kg} \times 0,718 \text{ kJ/kg·K} \times (485,32 \text{ K} - 278,75 \text{ K}) \\ &= 0,359 \times (206,57) \\ &\Rightarrow \Delta U \approx 74,16 \text{ kJ} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Après le calcul, on peut représenter l'augmentation de l'énergie stockée dans le système.

Augmentation de l'Énergie Interne
SYSTÈMEΔU = +74.2 kJ
Réflexions

La variation d'énergie interne est positive (+74,2 kJ), ce qui confirme que l'énergie "stockée" dans le gaz a augmenté. Cette augmentation est due à l'apport d'énergie sous forme de travail, qui a accru l'agitation thermique des molécules.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'utiliser la mauvaise capacité thermique (\(c_{\text{p}}\) au lieu de \(c_{\text{v}}\)). Rappelez-vous : 'v' pour volume constant est associé à l'énergie interne U, et 'p' pour pression constante est associé à l'enthalpie H.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température.
  • Formule Essentielle : \(\Delta U = m c_{\text{v}} \Delta T\).
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours utiliser \(c_{\text{v}}\) pour \(\Delta U\), quelle que soit la transformation.
Le saviez-vous ?

James Prescott Joule a démontré l'équivalence entre travail mécanique et chaleur dans les années 1840. Dans sa plus célèbre expérience, il a mesuré la très faible augmentation de température de l'eau dans un calorimètre provoquée par la chute d'un poids qui entraînait des palettes. Il a ainsi fondé le premier principe de la thermodynamique.

FAQ

Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape.

Pourquoi utilise-t-on $c_v$ (volume constant) alors que le volume change ?

\(U\) est une fonction d'état, sa variation ne dépend que des points de départ et d'arrivée (T1 et T2). Pour la calculer, on peut imaginer un chemin fictif plus simple, comme une transformation à volume constant entre T1 et T2, pour laquelle on sait que la chaleur échangée (et donc \(\Delta U\)) est \(mc_v\Delta T\). Le résultat est valable pour n'importe quel chemin.

Résultat Final
La variation d'énergie interne du système est d'environ 74,2 kJ.
A vous de jouer

Quelle serait la variation d'énergie interne si la température finale n'était que de 400 K ?

Question 5 : Déterminer la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée.

Principe

Le Premier Principe de la Thermodynamique est une loi de conservation de l'énergie. Il stipule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite. La variation de l'énergie stockée dans le système (\(\Delta U\)) est donc exactement égale à la somme des énergies qui ont traversé ses frontières (chaleur \(Q\) et travail \(W\)).

Mini-Cours

Contrairement à l'énergie interne \(U\) qui est une fonction d'état (elle ne dépend que de l'état du système), la chaleur \(Q\) et le travail \(W\) sont des fonctions de chemin. Leurs valeurs dépendent de la manière dont la transformation est effectuée (ex: chemin isobare, isotherme, etc.). Le Premier Principe est la relation qui les lie.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape du bilan. On a calculé l'énergie apportée (\(W\)) et l'énergie stockée (\(\Delta U\)). La chaleur \(Q\) est simplement la différence, c'est-à-dire l'énergie qui "manque" pour que le bilan soit équilibré. Un \(Q\) négatif signifiera qu'il a fallu évacuer de l'énergie pour respecter le bilan.

Normes

La formulation \(\Delta U = Q + W\) est l'une des équations les plus fondamentales de toute la physique et de l'ingénierie, transcendant les disciplines et les applications.

Formule(s)

On part du Premier Principe :

\[ \Delta U = Q + W \]

Et on l'isole pour trouver Q :

\[ Q = \Delta U - W \]
Hypothèses

On suppose que les énergies cinétique et potentielle macroscopiques du système sont nulles. Le bilan énergétique se résume donc aux trois termes U, Q et W.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Variation d'énergie interne\(\Delta U\)+74,16kJ
Travail reçu\(W\)+98,81kJ
Astuces

Pensez au bilan comme à un compte en banque. \(\Delta U\) est la variation de votre solde. \(W\) est un virement reçu. \(Q\) est le montant que vous avez dû retirer ou déposer pour que le solde corresponde. Si \(\Delta U\) est plus petit que \(W\), vous avez forcément dû retirer de l'argent (\(Q<0\)).

Schéma (Avant les calculs)

On peut représenter le système et les flux d'énergie. On sait que \(W\) entre et que \(U\) augmente. On cherche la direction et la valeur de \(Q\).

Bilan Énergétique du Système
SYSTÈMEΔU = ?W entrantQ ?
Calcul(s)

Calcul du transfert de chaleur

\[ \begin{aligned} Q &= \Delta U - W \\ &= 74,16 \text{ kJ} - 98,81 \text{ kJ} \\ &\Rightarrow Q \approx -24,65 \text{ kJ} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le bilan énergétique est complet. On voit que le travail entrant se divise en une partie qui augmente l'énergie interne et une autre qui est évacuée sous forme de chaleur.

Bilan Énergétique Complet
SYSTÈMEΔU = +74.2 kJW = +98.8 kJQ = -24.7 kJ
Réflexions

Le signe négatif de Q est l'information la plus importante. Il signifie que de la chaleur est évacuée du système. Physiquement, on a fourni 98,8 kJ de travail, mais l'énergie interne n'a augmenté que de 74,2 kJ. Les 24,6 kJ restants ont dû être transférés à l'environnement sous forme de chaleur pour que la transformation suive la loi polytropique imposée.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est une erreur de signe. Appliquez rigoureusement la formule \(Q = \Delta U - W\) avec les valeurs et les signes de \(\Delta U\) et \(W\) que vous avez calculés. Une double négation peut facilement arriver si vous utilisez une convention de signe différente pour W.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Le Premier Principe est un bilan de conservation de l'énergie.
  • Formule Essentielle : \(Q = \Delta U - W\).
  • Point de Vigilance Majeur : La rigueur dans l'application des signes est absolument critique.
Le saviez-vous ?

Une transformation adiabatique (sans échange de chaleur, \(Q=0\)) est un cas particulier de transformation polytropique où l'indice \(n\) est égal à \(\gamma = c_p/c_v\) (environ 1,4 pour l'air). Comme \(1,3 < 1,4\), notre processus est une compression "refroidie", ce qui est cohérent avec notre résultat \(Q<0\).

FAQ

Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape.

Qu'est-ce qui se serait passé si le résultat pour Q avait été positif ?

Un \(Q\) positif aurait signifié que le système recevait de la chaleur de l'extérieur en plus du travail de compression. C'est un cas physiquement possible, qui correspondrait à un indice polytropique \(n > \gamma\).

Résultat Final
Le transfert de chaleur est d'environ -24,7 kJ, ce qui signifie que 24,7 kJ ont été évacués du système.
A vous de jouer

Si le travail de compression avait été de 110 kJ (par exemple avec un piston moins efficace), quelle aurait été la chaleur échangée \(Q\) (en kJ) pour la même variation \(\Delta U\) ?

Outil Interactif : Simulateur de Compression

Utilisez cet outil pour voir comment l'indice polytropique et la masse de gaz influencent les résultats finaux de la compression.

Paramètres d'Entrée
0.5 kg
1.30
Résultats Clés
Pression Finale \(P_2\) (kPa) -
Travail Reçu \(W\) (kJ) -
Variation Énergie Interne \(\Delta U\) (kJ) -
Chaleur Échangée \(Q\) (kJ) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Selon le Premier Principe de la thermodynamique pour un système fermé (\( \Delta U = Q + W \)), si un système est comprimé adiabatiquement (sans échange de chaleur), que se passe-t-il ?

2. Dans une transformation polytropique \(PV^n = \text{Cte}\), si l'indice \(n = 1\), de quel type de transformation s'agit-il ?

3. Un système reçoit 50 kJ de chaleur et fournit un travail de 20 kJ à l'extérieur. Quelle est la variation de son énergie interne ?

4. Pour un gaz parfait, de quelle propriété d'état la variation d'énergie interne dépend-elle uniquement ?

5. Lors de la compression de l'air dans cet exercice, nous avons trouvé \(Q < 0\). Qu'est-ce que cela signifie physiquement ?

Glossaire

Système Fermé
Un système thermodynamique qui peut échanger de l'énergie (sous forme de chaleur et de travail) avec son environnement, mais qui ne peut pas échanger de matière.
Gaz Parfait
Un modèle de gaz idéal dont les molécules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il suit la loi \(PV=mRT\).
Transformation Polytropique
Tout processus thermodynamique qui peut être décrit par l'équation \(PV^n = \text{constante}\), où \(n\) est un nombre réel appelé l'indice polytropique.
Énergie Interne (U)
L'énergie totale contenue dans un système thermodynamique. Elle correspond à l'énergie cinétique et potentielle de ses particules au niveau microscopique. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
Exercice : Analyse d'un Système Fermé en Thermodynamique

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