Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin
Comprendre l’Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin
Dans le cadre de la construction d’une maison résidentielle en bois, un ingénieur doit vérifier la résistance d’une poutre en bois qui servira de support principal pour le toit.
La poutre est en bois de pin et doit supporter une charge uniformément répartie due au poids du toit et des charges de neige.
Pour comprendre les Caractéristiques mécaniques du bois, cliquez sur le lien.
Données :
- Matériau : Pin
- Densité du pin : 500 kg/m³
- Module d’élasticité (E) : 11 GPa
- Contrainte admissible (en flexion) : 16 MPa
- Longueur de la poutre (L) : 4 m
- Charge permanente (G) due au poids du toit : 1.5 kN/m
- Charge d’exploitation (Q) due à la neige : 3 kN/m
Questions :
1. Calculer la charge totale répartie (w) que la poutre doit supporter.
2. Déterminer le moment fléchissant maximal (M) dans la poutre. Utiliser la formule pour une charge répartie sur une poutre simplement appuyée.
3. Vérifier si la poutre est suffisamment résistante :
- Calculer le moment de résistance requis ( \( M_r \) ) en utilisant la contrainte admissible et la section de la poutre. Supposer une section rectangulaire avec une largeur \( b = 150 \) mm et une hauteur \( h = 300 \) mm.
- Calculer le moment de résistance de la section ( \( M_s \).
- Comparer \( M_s \) et \( M \) pour vérifier si la poutre est adéquate.
Correction : Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin
1. Calcul de la charge totale répartie (w)
La charge totale répartie sur la poutre est la somme des charges permanentes et des charges d’exploitation :
\[ w = G + Q \] \[ w = 1.5 \, \text{kN/m} + 3 \, \text{kN/m} \] \[ w = 4.5 \, \text{kN/m} \]
2. Calcul du moment fléchissant maximal (M)
Le moment fléchissant maximal dans une poutre simplement appuyée sous une charge uniformément répartie est donné par :
\[ M = \frac{w \times L^2}{8} \] \[ M = \frac{4.5 \, \text{kN/m} \times (4 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M = 9 \, \text{kNm} \]
3. Vérification de la résistance de la poutre
Calcul du moment de résistance ( \( M_s \) ) de la section :
Le moment de résistance d’une section rectangulaire est :
\[ M_s = \frac{b \times h^2 \times \sigma}{6} \]
où \( \sigma \) est la contrainte admissible (16 MPa).
Substituons les dimensions de la poutre et la contrainte admissible :
\[ M_s = \frac{150 \, \text{mm} \times (300 \, \text{mm})^2 \times 16 \, \text{MPa}}{6} \] \[ M_s = \frac{150 \times 90000 \times 16}{6} \] \[ M_s = \frac{216000000}{6} \] \[ M_s = 36000000 \, \text{Nmm} \] \[ M_s = 36 \, \text{kNm} \]
Comparaison entre \( M \) et \( M_s \) :
- \( M = 9 \, \text{kNm} \)
- \( M_s = 36 \, \text{kNm} \)
Le moment fléchissant maximal \( M \) est bien inférieur au moment de résistance \( M_s \) de la poutre.
La poutre est donc suffisamment résistante pour supporter les charges données selon les spécifications de l’Eurocode 5.
Conclusion :
La poutre en pin peut supporter sans problème les charges dues au poids du toit et à la neige. Cette analyse montre que les dimensions de la poutre sont adéquates et que la sécurité de la structure est assurée selon les normes de l’Eurocode 5.
Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin
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