Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment
Comprendre l’Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment
Vous êtes un ingénieur sismique chargé d’évaluer la réponse d’un bâtiment de bureau de 10 étages lors d’un tremblement de terre. Le bâtiment est situé dans une région de sismicité modérée et est construit avec un système de cadres en acier. Vous devez estimer les déplacements et les forces internes générés par un séisme de magnitude spécifique.
Données fournies:
- Hauteur de l’étage: 3 mètres
- Nombre d’étages: 10
- Poids total du bâtiment: 8000 kN
- Type de sol: Type II (sol intermédiaire selon les classifications Eurocode 8)
- Magnitude du séisme: 5.5 sur l’échelle de Richter
- Distance de l’épicentre: 25 km
- Accélération de la pesanteur (g): 9.81 m/s²
Questions:
1. Calculer la période fondamentale du bâtiment.
2. Estimer l’accélération de base qui affectera le bâtiment.
3. Calculer la force sismique totale \(F_{\text{base}}\) que le bâtiment devra supporter.
4. Déterminer les déplacements maximaux \(\Delta\) au sommet du bâtiment sous l’effet de l’accélération sismique
Correction : Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment
1. Calcul de la période fondamentale du bâtiment
Pour estimer la période fondamentale \(T\) d’un bâtiment en acier, une formule simplifiée inspirée de l’Eurocode 8 peut être utilisée :
\[ T = C_t \times H^{0.75} \]
avec \(C_t = 0.085\) pour des structures en acier.
Données
- \(H = 30\) m
- \(C_t = 0.085\)
Calcul
\[ \displaystyle T = 0.085 \times 30^{0.75} \] \[ T = 0.085 \times 12.8 \] \[ T \approx 1.09 \text{ s} \]
Résultat : La période fondamentale du bâtiment est d’environ 1.09 s.
2. Estimation de l’accélération de base affectant le bâtiment
L’accélération de base, notée \(a_{\text{base}}\), correspond à la valeur du pic d’accélération au sol (PGA) que subit le bâtiment. Pour un séisme de magnitude 5.5, à une distance de 25 km et sur un sol de type II, on peut adopter une valeur représentative.
En l’absence d’un calcul complet par équation d’atténuation, on admet une valeur typique d’environ 0.15 g pour la région considérée.
Données et Formule
- \(g = 9.81\) m/s\(^2\)
\[ a_{\text{base}} = 0.15 \times g \]
Calcul
\[ a_{\text{base}} = 0.15 \times 9.81 \] \[ a_{\text{base}} \approx 1.47 \text{ m/s}^2 \]
Résultat : L’accélération de base est d’environ 1.47 m/s².
3. Calcul de la force sismique totale \(F_{\text{base}}\)
La force sismique totale à la base du bâtiment est obtenue en multipliant la masse totale du bâtiment par l’accélération de base. La masse \(m\) se déduit du poids \(W\) par la relation :
\[ m = \frac{W}{g} \]
avec \(W = 8000\) kN (soit \(8\,000\,000\) N).
Données et Formule
- Poids : \(W = 8\,000\,000\) N
- \(g = 9.81\) m/s\(^2\)
Formule de la force sismique :
\[ F_{\text{base}} = m \times a_{\text{base}} \]
Calcul
1. Masse du bâtiment :
\[ m \approx \frac{8\,000\,000}{9.81} \] \[ m \approx 815\,700 \text{ kg} \]
2. Calcul de \(F_{\text{base}}\) :
\[ F_{\text{base}} \approx 815\,700 \times 1.47 \] \[ F_{\text{base}} \approx 1\,198\,000 \text{ N} \]
En kN :
\[ F_{\text{base}} \approx 1198 \text{ kN} \]
Résultat : La force sismique totale est d’environ 1198 kN.
4. Détermination des déplacements maximaux \(\Delta\) au sommet du bâtiment
Une approche simplifiée pour estimer le déplacement maximal au sommet sous l’effet d’une accélération dynamique est de considérer la réponse d’un système du premier ordre. On peut exprimer le déplacement \(\Delta\) en fonction de l’accélération de base et de la fréquence propre (ou période \(T\)) du bâtiment. Une formule utilisée est :
\[ \Delta = \frac{a_{\text{base}} \times T^2}{4\pi^2} \]
Cette formule s’obtient en assimilant le bâtiment à un système masse-ressort harmonique soumis à une accélération.
Données
- \(a_{\text{base}} = 1.47\) m/s\(^2\)
- \(T = 1.09\) s
Calcul
\[ \Delta = \frac{1.47 \times (1.09)^2}{4\pi^2} \] \[ \Delta \approx \frac{1.47 \times 1.1881}{39.478} \] \[ \Delta \approx \frac{1.747}{39.478} \] \[ \Delta \approx 0.0442 \text{ m} \]
Ce qui correspond à environ 4.42 cm.
Résultat : Le déplacement maximal au sommet est d’environ 0.044 m (soit 4.4 cm).
Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment
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