Analyse de la Compression Réversible d’Azote

Correction : Analyse de la Compression Réversible d’Azote

1. Calcul de la température finale T₂

- Une compression réversible signifie que le processus se fait lentement, sans pertes d’énergie par frottement ou turbulence.
- Adiabatique veut dire qu’il n’y a aucun échange de chaleur avec l’extérieur (\(Q = 0\)).
- Pour un gaz parfait, la relation liant pression (\(P\)), volume (\(V\)) et température (\(T\)) en compression adiabatique réversible est :
\[P\,V^{\gamma} = \text{constante} \quad\Longrightarrow\quad T\,P^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}} = \text{constante}.\]
- En isolant \(T\), on obtient la formule pour calculer la température finale \(T_2\) à partir des pressions \(P_1\) et \(P_2\).

Formule

\[T_2 = T_1 \times \Bigl(\frac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\]

Données

• Gaz étudié : Nitrogène (\(N_2\))
• Capacité calorifique à volume constant : \(C_V = 20.8\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\)
• Indice adiabatique : \(\gamma = 1.4\)
• Température initiale : \(T_1 = 25\,^{\circ}\mathrm{C} = 298\,\mathrm{K}\)
• Pression initiale : \(P_1 = 1\,\mathrm{atm} = 101\,325\,\mathrm{kPa}\)
• Pression finale : \(P_2 = 10\,\mathrm{atm} = 1\,013\,250\,\mathrm{kPa}\)

Calculs

1. Calcul de l’exposant (\((\gamma-1)/\gamma\)) :
\[\frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1.4 - 1}{1.4} = 0.285714\]
(Cet exposant montre la relation entre la pression et la température sans échange de chaleur.)
2. Rapport des pressions :
\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{10}{1} = 10\]
3. Élévation du rapport à l’exposant :
\[10^{0.285714} \approx 1.93\]
(Cela indique de combien la température augmente.)
4. Calcul de \(T_2\) :
\[T_2 = 298\,\mathrm{K} \times 1.93 \] \[T_2 \approx 575.1\,\mathrm{K}\]

Résultat

\[T_2 \approx 575.1\,\mathrm{K}\]
(Le gaz atteint environ 575 K après compression.)

2. Détermination du travail \(W\) effectué sur le système

- En adiabatique, la chaleur échangée est nulle : \(Q = 0\).
- D’après la première loi de la thermodynamique :
\[\Delta U = Q + W.\]
- Ici, \(Q = 0\) donc \(\Delta U = W\).
- Pour un gaz parfait, la variation d’énergie interne est donnée par :
\[\Delta U = n\,C_V\,(T_2 - T_1).\]
- Le travail reçu par le gaz (positif si effectué sur le gaz) est donc :
\[W = n\,C_V\,(T_2 - T_1).\]

Formule

\[W = n\,C_V\,(T_2 - T_1)\]

Données

• Quantité de gaz : \(n = 1\,\mathrm{mol}\)
• \(C_V = 20.8\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\)
• Température initiale : \(T_1 = 298\,\mathrm{K}\)
• Température finale : \(T_2 = 575.1\,\mathrm{K}\)

Calculs

1. Différence de température :
\[T_2 - T_1 = 575.1 - 298 = 277.1\,\mathrm{K}\]
(Le gaz est plus chaud après compression.)
2. Calcul du travail :
\[W = 1 \times 20.8 \times 277.1 \] \[W \approx 5765\,\mathrm{J}\]
(On multiplie la capacité calorifique par la variation de température et le nombre de moles.)

Résultat

\[W \approx 5\,765\,\mathrm{J}\]
(Travail effectué sur 1 mol de N₂.)

Remarques finales