Ferraillage transversal d’une poutre
Comprendre le ferraillage transversal d’une poutre:
Vous êtes chargé de concevoir le ferraillage transversal d’une poutre simplement appuyée qui supporte des charges uniformément réparties.
La poutre a une portée de 8 m et doit supporter une charge permanente (G) de 25 kN/m (y compris son propre poids) et une charge variable (Q) de 35 kN/m.
Pour comprendre le Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre, cliquez sur le lien.
Les caractéristiques du matériau sont les suivantes :
- Béton C30/37
- Acier d’armature de classe B500B
Les dimensions de la section transversale de la poutre sont :
- Largeur b = 300 mm
- Hauteur totale h = 600 mm
- Enrobage des armatures c = 30 mm
Autres données:
- \( \rho_l \) est de 1%
- Diamètre d’étrier: 8 mm
Pour comprendre le calcul de la Capacité Portante d’une Semelle Isolée, cliquez sur le lien.
Questions :
- Détermination des actions et des combinaisons d’actions
- Calculer les charges de calcul pour les combinaisons de charges ultimes selon l’Eurocode 0 (EN 1990).
- Calcul des efforts internes
- Calculer le moment fléchissant maximal (Md) et l’effort tranchant maximal (Vd) dans la poutre en utilisant la théorie des poutres.
- Calcul de la capacité de cisaillement sans armatures transversales (Vc)
- Utiliser l’Eurocode 2 pour déterminer la capacité de cisaillement du béton sans armatures de cisaillement.
- Détermination du ferraillage transversal nécessaire (Vs)
- Calculer l’armature de cisaillement requise pour résister à l’effort tranchant excédent (Vd – Vc).
- Choix des étriers et espacement
- Choisir le type et le diamètre des étriers.
- Déterminer l’espacement maximal et minimal des étriers selon l’Eurocode 2.
- Vérification de la capacité de cisaillement avec armatures transversales
- Vérifier que l’armature proposée est adéquate pour les efforts de cisaillement calculés.
Correction : Ferraillage transversal d’une poutre
Données:
- Portée de la poutre (l) = 8 m = 8000 mm
- Charge permanente (G) = 25 kN/m
- Charge variable (Q) = 35 kN/m
- Largeur de la poutre (b) = 300 mm
- Hauteur totale de la poutre (h) = 600 mm
- Enrobage (c) = 30 mm
- Béton C30/37: \(f_{ck}\) = 30 MPa
- Acier B500B: \(f_{yk}\) = 500 MPa
1. Détermination des actions et des combinaisons d’actions
Pour les charges ultimes (ELU):
- \(G_k = 25 \, \text{kN/m}\)
- \(Q_k = 35 \, \text{kN/m}\)
Combinaison de charges pour les situations persistantes et transitoires:
- \(\gamma_G = 1.35\)
- \(\gamma_Q = 1.5\)
Charge de calcul \((F_d)\):
\[ F_d = \gamma_G \cdot G_k + \gamma_Q \cdot Q_k \] \[ F_d = 1.35 \cdot 25 + 1.5 \cdot 35 \] \[ F_d = 33.75 + 52.5 \] \[ F_d = 86.25 \, \text{kN/m} \]
2. Calcul des efforts internes
Moment fléchissant maximal \( (M_d) \):
\[ M_d = \frac{F_d \cdot l^2}{8} \] \[
M_d = \frac{86.25 \cdot 8^2}{8} \] \[ M_d = \frac{86.25 \cdot 64}{8} \] \[ M_d = \frac{5520}{8} \] \[ M_d = 690 \, \text{kNm} \] \[ M_d = 690000 \, \text{kNmm} \]
Effort tranchant maximal \( (V_d) \) à l’appui:
\[ V_d = \frac{F_d \cdot l}{2} \] \[ V_d = \frac{86.25 \cdot 8}{2} \] \[ V_d = \frac{690}{2} \] \[ V_d = 345 \, \text{kN} \]
3. Capacité de cisaillement sans armatures transversales \( (V_c) \)
Pour le béton C30/37 selon l’Eurocode 2, sans entrer dans les détails des coefficients, on utilise généralement la formule:
\[ V_c = \left[ 0.12 \cdot k \cdot \left(100 \cdot \rho_l \cdot f_{ck} \right)^{\frac{1}{3}} \right] \cdot b \cdot d \]
où
\[ k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \]
(mais \( k \) ne doit pas être supérieur à 2),
et
\[ \rho_l = \frac{A_{sl}}{b \cdot d} \]
est le ratio d’armature longitudinale qui doit être calculé séparément avec \( A_{sl} \) étant l’aire d’acier longitudinale fournie. Pour cet exercice, \( \rho_l \) est de 1% et
\[ d = h – c – \frac{\text{diamètre de l’étrier}}{2} \].
Nous avons un diamètre d’étrier de 8 mm, alors:
- Calculons d:
\[ d = 600 – 30 – \frac{8}{2} \] \[ d = 600 – 34 \] \[ d = 566 \, \text{mm} \]
- Calculons k:
\[ k = 1 + \frac{200}{566} \] \[
k = 1.353 \approx 1.6 \] (On limite \( k \) à 2 pour l’Eurocode)
Maintenant, calculons \(V_c\):
\[ V_c \approx \left[ 0.12 \cdot 2 \cdot (30)^{\frac{1}{3}} \right] \cdot 300 \cdot 566 \] \[ V_c \approx 126.1 \, \text{kN} \]
4. Détermination du ferraillage transversal nécessaire \( (V_s) \)
\[ V_s = V_d – V_c \] \[ V_s = 345 – 126.1 \] \[ V_s = 218.9 \, \text{kN} \]
5. Choix des étriers et espacement
Nous devons choisir des étriers qui peuvent prendre le reste de l’effort tranchant. Nous utilisons des étriers de 8 mm d’épaisseur.
La capacité d’un étrier à résister au cisaillement est donnée par:
\[ V_{s} = A_{sw} \cdot f_{ywd} \cdot z \]
où
- \( A_{sw} \) est l’aire d’acier d’un étrier
- \( f_{ywd} \) est la résistance de calcul de l’acier en cisaillement
- \( z \) est le bras de levier interne, généralement pris comme \(0.9d\).
Pour la résistance de calcul de l’acier en cisaillement, nous avons :
\[ f_{ywd} = \frac{0.9 \cdot f_{yk}}{\gamma_{s}} \]
Avec \( \gamma_{s} \) est le facteur partiel de sécurité pour l’acier, prenons-le comme \(1.15\) pour les situations de chargement permanentes et transitoires.
\[ f_{ywd} = \frac{0.9 \cdot 500}{1.15} \] \[ f_{ywd} = 391.3 \, \text{MPa} \]
Pour un étrier de 8 mm, \( A_{sw} \) par étrier (pour 2 branches d’étriers) :
\[ A_{sw} = 2 \cdot \left( \pi \cdot \left(\frac{8}{2}\right)^2 \right) \] \[ A_{sw} = 2 \cdot (3.14 \cdot 16) \] \[ A_{sw} = 100.48 \, \text{mm}^2 \]
Maintenant, calculons l’espacement des étriers (\(s\)) en utilisant la force de cisaillement à transmettre (\(V_{s}\)):
\[ s = \frac{A_{sw} \cdot f_{ywd} \cdot z}{V_{s}} \] \[ s = \frac{100.48 \cdot 391.3 \cdot 0.9 \cdot 566}{218900} \] \[ s = \frac{33541689.4}{218900} \] \[ s \approx 153 \, \text{mm} \]
L’espacement doit également respecter les limites maximales et minimales définies par l’Eurocode 2, qui sont souvent \(0.75d\) pour l’espacement maximal et au moins la plus grande des valeurs suivantes pour l’espacement minimal : \(8 \, \text{mm}\), \(6\) diamètres de barre d’armature longitudinale, ou le diamètre maximal de l’agrégat plus \(5 \, \text{mm}\).
6. Vérification de la capacité de cisaillement avec armatures transversales
Pour vérifier la capacité de cisaillement avec des armatures transversales selon l’Eurocode 2, nous devons nous assurer que l’effort tranchant de calcul \( V_{\text{d}} \) ne dépasse pas la capacité de cisaillement de la poutre \( V_{\text{Rd,c}} \), qui est la somme de la capacité de cisaillement du béton \( V_{\text{c}} \) et de celle des armatures transversales \( V_{\text{s}} \).
D’après les calculs précédents, nous avons déjà \( V_{\text{d}} = 345 \, \text{kN} \) et \( V_{\text{c}} \approx 126.1 \, \text{kN} \). Ensuite, nous avons déterminé la capacité de cisaillement des armatures transversales nécessaires \( V_{\text{s}} = 218.9 \, \text{kN} \).
Maintenant, nous devons calculer \( V_{\text{Rd,c}} \), qui est défini comme suit selon l’Eurocode 2:
\[
V_{\text{Rd,c}} = V_{\text{c}} + V_{\text{s}}
\]
Avant de calculer \( V_{\text{s}} \), nous avons déjà calculé un espacement \( s \) qui devait être ajusté pour se conformer aux limites de l’Eurocode.
Avec l’espacement \( s \) que nous avons calculé comme environ 153 mm, nous vérifions s’il respecte les limites minimales et maximales de l’Eurocode:
Espacement maximal \( s_{\text{max}} = 0.75d = 0.75 \times 566 \, \text{mm} \approx 424.5 \, \text{mm} \)
Espacement minimal \( s_{\text{min}} \) est le plus grand des suivants:
- 8 mm
- 6 diamètres de barre d’armature longitudinale
- Diamètre maximal de l’agrégat + 5 mm
Supposons que l’armature longitudinale a un diamètre de 16 mm et que le diamètre maximal de l’agrégat est de 20 mm.
Alors, l’espacement minimal sera de \( 6 \times 16 \, \text{mm} = 96 \, \text{mm} \), ce qui est plus grand que 8 mm et \( 20 \, \text{mm} + 5 \, \text{mm} = 25 \, \text{mm} \). Donc, notre espacement minimal est de 96 mm.
Notre espacement calculé de 153 mm est entre les deux limites (96 mm et 424.5 mm), donc il est acceptable.
Maintenant, nous devons vérifier si l’effort tranchant total peut être pris par le béton et les armatures transversales. La capacité totale est donc:
\[ V_{\text{Rd,c}} = V_{\text{c}} + V_{\text{s}} \] \[ V_{\text{Rd,c}} = 126.1 \, \text{kN} + 218.9 \, \text{kN} \] \[ V_{\text{Rd,c}} = 345 \, \text{kN} \]
Étant donné que \( V_{\text{Rd,c}} = V_{\text{d}} \), la capacité de cisaillement avec armatures transversales est exactement égale à l’effort tranchant de calcul. Dans la pratique, il est préférable d’avoir une certaine marge de sécurité, donc on vérifierait pour un \( V_{\text{Rd,c}} \) légèrement supérieur à \( V_{\text{d}} \).
En conclusion, la poutre en béton armé avec l’espacement des étriers de 153 mm est théoriquement suffisante pour résister à l’effort tranchant selon l’Eurocode 2, mais en pratique, un ingénieur devrait examiner la conception pour confirmer la sécurité et la conformité avec toutes les exigences locales, et peut-être opter pour une capacité de cisaillement légèrement supérieure pour une marge de sécurité appropriée.
Ferraillage transversal d’une poutre
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