Calculer les dimensions d’un escalier
Comprendre comment calculer les dimensions d’un escalier
Vous êtes un ingénieur en construction et vous devez concevoir un escalier pour un bâtiment résidentiel de deux étages. L’escalier doit relier le rez-de-chaussée au premier étage.
Données :
- Hauteur à franchir (distance verticale entre les deux étages) : 2.75 m
- Espace disponible pour l’escalier (empreinte au sol) : 3.00 m (longueur) x 1.20 m (largeur)
- Norme de la pente confortable pour un escalier résidentiel : entre 25° et 37°
Instructions :
- Calcul de la hauteur des marches (h)
- Détermination du giron (g)
- Calcul du nombre de marches
- Vérification de l’inclinaison de l’escalier
- Conception de l’escalier
- Rédaction d’un rapport
Conseils :
- Assurez-vous que la hauteur de marche est confortable pour une utilisation quotidienne.
- La largeur de l’escalier doit permettre le passage de deux personnes en croisement.
- La longueur de la volée d’escalier doit être telle que vous n’avez pas de marche trop étroite en haut ou en bas de l’escalier.
- Si vous devez faire un palier, assurez-vous qu’il a au moins la largeur de l’escalier et est profond d’une marche.
- Prenez en compte les normes locales qui peuvent imposer des spécificités supplémentaires.
Correction : Calculer les dimensions d’un escalier
1. Calcul de la hauteur des marches (h)
a. Formule de Blondel :
La formule de Blondel est donnée par:
\[ 2h + g = 63 \text{ à } 65 \text{ cm}. \]
Nous visons une formule de Blondel qui donne une valeur moyenne pour un confort optimal, donc:
\[ 2h + g = 64 \text{ cm}. \]
b. Hauteur de marche :
Si nous avons entre 14 et 17 marches, la hauteur de marche \( h \) doit être :
\[ h = \frac{275 \text{ cm}}{\text{Nombre de marches}}. \]
Essayons avec 15 marches :
\[ h = \frac{275 \text{ cm}}{15} \approx 18.33 \text{ cm}. \]
Ce qui est une hauteur de marche raisonnable pour un escalier résidentiel.
2. Détermination du giron (g)
Avec \( h = 18.33 \text{ cm} \), nous trouvons \( g \) en réarrangeant la formule de Blondel:
\[ g = 64 \text{ cm} – 2h \]
\[ g = 64 \text{ cm} – 2(18.33 \text{ cm}) \]
\[ g = 64 \text{ cm} – 36.66 \text{ cm} \]
\[ g = 27.34 \text{ cm}. \]
3. Calcul du nombre de marches
Nous avions estimé 15 marches, mais vérifions cela avec la hauteur exacte des marches:
Nombre de marches
\[ = \frac{\text{Hauteur totale à franchir}}{h} \]
\[ \text{Nombre de marches} = \frac{275 \text{ cm}}{18.33 \text{ cm}} \]
\[ \text{Nombre de marches} \approx 15 \]
Donc, nous avions une bonne estimation dès le début. Nous garderons 15 marches.
4. Vérification de l’inclinaison de l’escalier
a. L’inclinaison \( \theta \) peut être trouvée en utilisant la hauteur totale (h * nombre de marches) et la longueur totale du giron (g * nombre de marches) :
\[ \theta = \arctan\left(\frac{\text{Hauteur totale}}{\text{L totale du giron}}\right) \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{275 \text{ cm}}{27.34 \text{ cm} * 15}\right) \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{275 \text{ cm}}{410.1 \text{ cm}}\right) \]
\[ \theta \approx \arctan(0.670) \]
\[ \theta \approx 34^\circ \]
Cette inclinaison est dans la plage de confort de 25° à 37°.
5. Conception de l’escalier
Sur le plan, l’escalier a 15 marches de 18.33 cm de hauteur et 27.34 cm de giron, ce qui donne une longueur de volée de \( 15 * 27.34 \text{ cm} = 410.1 \text{ cm} \), ce qui est supérieur à l’espace disponible (300 cm). Cela signifie qu’il faudra réajuster soit le giron, soit intégrer un palier ou un virage dans l’escalier.
Si nous réajustons le giron pour qu’il s’adapte à l’espace disponible (300 cm), alors:
\[ g = \frac{\text{Espace disponible}}{\text{Nombre de marches}} \]
\[ g = \frac{300 \text{ cm}}{15} \]
\[ g = 20 \text{ cm}. \]
En utilisant ce nouveau giron dans la formule de Blondel, recalculons la hauteur de marche pour s’assurer qu’elle est toujours confortable:
\[ 2h + g = 64 \text{ cm} \]
\[ 2h + 20 \text{ cm} = 64 \text{ cm} \]
\[ 2h = 44 \text{ cm} \]
\[ h = 22 \text{ cm} \]
Une hauteur de 22 cm est trop élevée pour être confortable. Il faudrait revoir la conception pour peut-être inclure un palier ou choisir un nombre de marches différent.
6. Rédaction d’un rapport
Le rapport technique devrait inclure une introduction, la méthodologie appliquée, les calculs effectués, les résultats obtenus, les dessins techniques de l’escalier proposé, et une conclusion.
Il devrait également justifier le nombre de marches, la hauteur et le giron choisis, expliquer comment la conception s’intègre dans l’espace disponible, et décrire toute autre considération de conception, telle que la présence d’un palier ou les matériaux à utiliser.
Cette correction montre que le processus de conception est itératif. Si les contraintes de l’espace ne permettent pas un escalier droit, il faudra envisager des alternatives telles que des escaliers avec un ou plusieurs paliers, ou un escalier en colimaçon, tout en respectant les normes de sécurité et de confort.
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