Production d’énergie à partir de l’eau
Comprendre la production d’énergie à partir de l’eau
Une petite centrale hydroélectrique utilise un cours d’eau pour générer de l’électricité. Les caractéristiques du cours d’eau et de la centrale sont les suivantes :
Données :
- Débit du cours d’eau : \( Q = 50 \, \text{m}^3/\text{s} \)
- Hauteur de chute de l’eau (différence de hauteur entre l’entrée et la sortie) : \( H = 20 \, \text{m} \)
- Rendement de la turbine et du générateur : \( \eta = 80\% \)
Questions :
- Calculez l’énergie potentielle gravitationnelle de l’eau disponible pour la centrale hydroélectrique.
- Déterminez la puissance théorique que l’eau peut générer.
- Calculez la puissance réelle produite par la centrale, en tenant compte du rendement de la turbine et du générateur.
Correction : production d’énergie à partir de l’eau
1. Calcul de l’énergie potentielle gravitationnelle de l’eau
La formule pour l’énergie potentielle gravitationnelle est
\[ E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot H \]
Pour calculer la masse \( m \) de l’eau qui passe à travers la turbine en un temps donné, on utilise le débit \( Q \).
Nous considérons un intervalle d’une seconde. Le débit est de 50 m³/s, donc en une seconde, 50 mètres cubes d’eau passent à travers la turbine.
La masse d’eau \( m \) peut être calculée en multipliant le volume d’eau par la densité de l’eau (qui est d’environ 1000 kg/m³ pour l’eau douce). Ainsi,
\[ m = 50 \, \text{m}^3 \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \] \[ m = 50000 \, \text{kg} \]
Ensuite, en utilisant \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) et \( H = 20 \, \text{m} \), l’énergie potentielle gravitationnelle est :
\[ E_{\text{pot}} = 50000 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 20 \, \text{m} \] \[ E_{\text{pot}} = 9810000 \, \text{Joules} \, \text{ou} \, 9,81 \, \text{MJ} \]
2. Calcul de la puissance théorique
La puissance théorique est donnée par la formule
\[ P_{\text{théorique}} = \rho \cdot g \cdot H \cdot Q \]
En substituant les valeurs données :
- \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) (densité de l’eau)
- \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) (accélération due à la gravité)
- \( H = 20 \, \text{m} \) (hauteur de chute)
- \( Q = 50 \, \text{m}^3/\text{s} \) (débit du cours d’eau)
La puissance théorique est donc :
\[= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 20 \, \text{m} \times 50 \, \text{m}^3/\text{s}\] \[ = 981000 \, \text{W} \, \text{ou} \, 981 \, \text{kW} \]
3. Calcul de la puissance réelle
La puissance réelle prend en compte le rendement de la turbine et du générateur. Le rendement \( \eta \) est de 80 % ou 0,80. Ainsi, la puissance réelle est :
\[ P_{\text{réelle}} = \eta \cdot P_{\text{théorique}} \] \[ P_{\text{réelle}} = 0,80 \times 981000 \, \text{W} \] \[ P_{\text{réelle}} = 784800 \, \text{W} \, \text{ou} \, 784,8 \, \text{kW} \]
La centrale hydroélectrique produit donc une puissance réelle de 784,8 kW en tenant compte de son rendement.
Production d’énergie à partir de l’eau
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