Treillis triangulaire simple

Comprendre le Treillis triangulaire simple

Une petite structure de support de toiture est réalisée sous la forme d’un treillis triangulaire. La structure est constituée de trois barres reliées par trois nœuds. Deux appuis (situés aux extrémités de la base) assurent la stabilité, et une charge ponctuelle représente par exemple le poids concentré d’un élément de couverture ou d’une charge temporaire (neige, par exemple) est appliquée au sommet du triangle.

Données:

a. Géométrie des nœuds :

A : (0 m, 0 m)
B : (6 m, 0 m)
C : (3 m, 4 m)

b. Barres constitutives :

Barre AC reliant A et C
Barre BC reliant B et C
Barre AB reliant A et B (côté inférieur)

c. Supports :

Nœud A : appui articulé (réactions horizontale et verticale inconnues)
Nœud B : appui glissant (réaction verticale uniquement)

d. Chargement :

Une force ponctuelle P = 10 kN est appliquée en C, dirigée verticalement vers le bas.

e. Hypothèses complémentaires :

Les barres sont légères (poids propre négligeable) et se comportent comme des éléments parfaits en traction/compression.
Les assemblages sont parfaits et la structure se déforme de manière élastique.
La structure est plane et l’effet des rotations est négligé.

Questions:

1. Réactions d’appui
Déterminez les réactions aux appuis en A et B en appliquant l’équilibre global de la structure (somme des forces horizontales, verticales et moments).

2. Calcul des efforts internes
En appliquant la méthode des nœuds :

Choisissez par exemple le nœud C (où la charge est appliquée) et isolez-le afin d’obtenir les relations d’équilibre.
Déterminez ensuite les forces dans chacune des barres AC, BC et AB.

3. Nature des efforts
Pour chacune des barres, précisez si l’effort interne correspond à une traction ou à une compression.

4. Vérification de l’équilibre
Vérifiez que la somme vectorielle des forces (et des moments si nécessaire) dans l’ensemble du treillis est nulle, confirmant ainsi la cohérence de la solution.

Correction : Treillis triangulaire simple

Étape 1 : Calcul des Réactions d’Appui

On utilise les conditions d’équilibre de l’ensemble de la structure :

L’équilibre des forces horizontales ($\sum F_x = 0$)
L’équilibre des forces verticales ($\sum F_y = 0$)
L’équilibre des moments ($\sum M = 0$).

Formules:

$\sum F_x = 0$
$\sum F_y = V_A + V_B – P = 0$
$\sum M_A = V_B \times d_{AB} – P \times d_{AC,x} = 0$
où $d_{AB}$ est la distance horizontale entre A et B et $d_{AC,x}$ la distance horizontale entre A et C.

Données:

$P = 10$ kN (vers le bas)
Position : A(0, 0), B(6, 0), C(3, 4)
Distances :
- $$d_{AB} = 6$ m$
- $$d_{AC,x} = 3$ m (la coordonnée x de C)$

Calcul:

a. Équilibre Horizontal:

\[ \sum F_x = H_A = 0 \quad \Rightarrow \quad H_A = 0\,\text{kN}. \]

b. Équilibre par Moments (au point A):

En prenant A comme point de rotation, seules $V_B$ et $P$ génèrent un moment.

\[ \sum M_A = V_B \times 6 – 10 \times 3 = 0. \]

Ainsi,

\[ V_B \times 6 = 30 \quad \Rightarrow \quad V_B = \frac{30}{6} = 5\,\text{kN}. \]

c. Équilibre Vertical:

\[ \sum F_y = V_A + V_B – 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad V_A + 5 – 10 = 0. \]

D’où,

\[ V_A = 5\,\text{kN}. \]

Résultat :

Appui A : $H_A = 0\,\text{kN}, V_A = 5\,\text{kN}$ (vers le haut)
Appui B : $V_B = 5\,\text{kN}$ (vers le haut)

Étape 2 : Calcul des Efforts Internes dans les Barres AC et BC par la Méthode des Nœuds (au nœud C)

2.1 Analyse au Nœud C

Au nœud C, la somme vectorielle des forces doit être nulle. Ce nœud est soumis :

À la charge externe $P = 10$ kN (vers le bas)
Aux forces internes dans les barres AC et BC.

On adopte la convention suivante :

Une force positive signifie traction (elle tire le nœud vers l’extérieur).
Une force négative indiquera donc une compression (la barre pousse sur le nœud).

Formules:

Pour l’équilibre en x et en y :

$\sum F_x = 0$
$\sum F_y = 0$

Données:

1. Barre AC:

Relie A $(0, 0)$ à C $(3, 4)$.
Vecteur $\vec{AC} = (3, 4)$
Longueur : $L_{AC} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m

Pour le nœud C, on considère le vecteur dirigé de C vers A :

\[ \vec{u}_{AC} = \frac{A-C}{L_{AC}} \] \[ \vec{u}_{AC} = \frac{(0 – 3, 0 – 4)}{5} \] \[ \vec{u}_{AC} = \left(-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right) \]

2. Barre BC:

Relie B $(6, 0)$ à C $(3, 4)$.
Vecteur $\vec{BC} = (3 – 6, 4 – 0) = (-3, 4)$
Longueur : $L_{BC} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$ m

Pour le nœud C, on prend le vecteur de C vers B :

\[ \vec{u}_{BC} = \frac{(B – C)}{L_{BC}} \] \[ \vec{u}_{BC} = \frac{(6 – 3, 0 – 4)}{5} \] \[ \vec{u}_{BC} = \left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right) \]

Calcul:

On note $F_{AC}$ et $F_{BC}$ les forces (selon notre convention) dans les barres AC et BC, respectivement.

1. Équilibre en x :

\[\sum F_x: F_{AC} \left(-\frac{3}{5}\right) + F_{BC} \left(\frac{3}{5}\right) = 0.\]

Ceci donne :

\[-\frac{3}{5}F_{AC} + \frac{3}{5}F_{BC} = 0 \quad \Rightarrow \quad F_{AC} = F_{BC}.\]

2. Équilibre en y :

\[\sum F_y: F_{AC} \left(-\frac{4}{5}\right) + F_{BC} \left(-\frac{4}{5}\right) – 10 = 0.\]

Comme $F_{AC} = F_{BC}$, on a :

\[-\frac{4}{5}(F_{AC} + F_{AC}) – 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{8}{5}F_{AC} = 10.\]

Ainsi :

\[F_{AC} = -\frac{10 \times 5}{8} = -\frac{50}{8} = -6.25 \text{kN}.\]

Et donc :

\[F_{BC} = -6.25 \text{kN}.\]

Interprétation :
Le signe négatif indique que, par rapport à notre convention (traction positive), les barres AC et BC sont en compression.
Magnitude : 6.25 kN.

Étape 3 : Calcul de l’Effort Interne dans la Barre AB

3.1 Analyse au Nœud A:

La barre AB n’étant pas connectée au nœud C, nous étudions le nœud A.
Au nœud A, les forces agissant sont :

La réaction d’appui $R_A$ : $H_A = 0$ (x) et $V_A = 5$ kN (y, vers le haut).
La force transmise par la barre AC, déjà déterminée : $F_{AC} = -6.25$ kN (compression).
La force inconnue $F_{AB}$ dans la barre AB (nous l’assumons positive si elle est en traction).

Convention pour le nœud A :

Pour la barre AB (de A à B) : le vecteur unitaire est

\[ \vec{u}_{AB} = \frac{|B-A|}{B-A} \] \[ \vec{u}_{AB} = \frac{(6, 0)}{6} \] \[ \vec{u}_{AB} = (1, 0) \]

Pour la barre AC (de A à C) : le vecteur unitaire est

\[ \vec{u}_{AC} = \frac{C – A}{L_{AC}}
\] \[ \vec{u}_{AC} = \frac{(3, 4)}{5} \] \[ \vec{u}_{AC} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \]

Attention : Nous avons trouvé $F_{AC} = -6.25$ kN (compression) dans notre analyse au nœud C. Pour le nœud A, on considère la même force, mais la direction effective de la force exercée sur A par la barre AC est opposée à celle du vecteur $C – A$ (puisque la barre est en compression).

Formules:

1. Équilibre en x :

\[\sum F_x: F_{AB} + F_{AC} \cdot \frac{3}{5} = 0.\]

2. Équilibre en y :

\[\sum F_y: V_A + F_{AC} \cdot \frac{4}{5} = 0.\]

Données:

$V_A = 5$ kN.
$F_{AC} = -6.25$ kN.
$\frac{3}{5} = 0.6$ et $\frac{4}{5} = 0.8$.

Calcul:

1. Équilibre en y (vérification) :

\[5 + (-6.25) \times 0.8 = 5 – 5 = 0.\]
L’équilibre vertical est satisfait.

2. Équilibre en x :

\[F_{AB} + (-6.25) \times 0.6 = 0 \quad \Rightarrow \quad F_{AB} – 3.75 = 0.\]

Donc :

\[F_{AB} = 3.75 \text{kN}.\]

Interprétation :
$F_{AB}$ est positif, indiquant que la barre AB est en traction.

Étape 4 : Vérification de l’Équilibre Global

Il est utile de vérifier que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées sur le treillis est nulle.

Données:

Réaction en A : $(H_A, V_A) = (0, 5)$ kN.
Réaction en B : $(0, 5)$ kN.
Charge appliquée en C : $(0, -10)$ kN.

Calcul:

En $x$ :

\[\sum F_x = 0 + 0 + 0 = 0.\]

En $y$ :

\[\sum F_y = 5 + 5 – 10 = 0.\]
L’équilibre global est vérifié.

Synthèse des Résultats:

Réactions d’appui :
- À A : $H_A = 0$ kN, $V_A = 5$ kN (vers le haut).
- À B : $V_B = 5$ kN (vers le haut).
Efforts internes dans les barres :
- Barre AC : $F_{AC} = -6.25$ kN → Compression (6.25 kN).
- Barre BC : $F_{BC} = -6.25$ kN → Compression (6.25 kN).
- Barre AB : $F_{AB} = +3.75$ kN → Traction (3.75 kN).
Vérification globale :
Les sommes des forces en $x$ et $y$ sont nulles, confirmant la cohérence de la solution.

Treillis triangulaire simple

D’autres exercices de Rdm:

← Application de la Méthode des Trois Moments Calcul de flèche d'une poutre →

Treillis triangulaire simple