Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier
Comprendre la Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier
Un ingénieur civil doit concevoir une poutre en acier qui fera partie de la structure de support d’un grand hall industriel.
Cette poutre doit supporter des charges verticales dues au poids du toit et de l’équipement, ainsi que résister à des charges latérales dues au vent.
De plus, la poutre est soumise à un moment de torsion causé par une grue qui se déplace le long de la poutre, exerçant des forces non-centrées.
Pour comprendre la Torsion dans une Poutre en T, cliquez sur le lien.
Données de l’exercice:
- Matériau de la poutre: Acier avec une limite d’élasticité de \(250 \, \text{MPa}\) et un module d’élasticité \(E = 210 \, \text{GPa}\).
- Dimensions de la poutre: Profil I standard, hauteur \(h = 300 \, \text{mm}\), largeur des ailes \(b = 150 \, \text{mm}\), épaisseur de l’âme \(t_w = 10 \, \text{mm}\), épaisseur des ailes \(t_f = 15 \, \text{mm}\).
- Longueur de la poutre: \(L = 10 \, \text{m}\).
- Charge verticale uniformément répartie: \(q = 30 \, \text{kN/m}\).
- Charge latérale uniformément répartie due au vent: \(w = 10 \, \text{kN/m}\).
- Position de la grue: À \(3 \, \text{m}\) du support gauche.
- Charge concentrée de la grue: \(P = 50 \, \text{kN}\).
- Moment de torsion dû à la grue: \(T = 20 \, \text{kNm}\).
Question:
Calculer les contraintes dans la poutre en utilisant les hypothèses de Navier-Bernoulli pour la flexion et la théorie de torsion de Saint-Venant pour le moment de torsion. Déterminer si la poutre choisie est adéquate pour résister aux charges appliquées sans dépasser les limites d’élasticité du matériau. Analyser les résultats pour les moments fléchissants maximaux et les contraintes dues à la torsion.
Correction : Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier
Étape 1: Analyse des charges et réactions aux appuis
1. Calcul des charges totales:
- Charge verticale uniformément répartie (q):
\[ Q_{total} = q \cdot L \] \[ Q_{total} = 30 \, \text{kN/m} \cdot 10 \, \text{m} \] \[ Q_{total} = 300 \, \text{kN} \]
- Charge concentrée de la grue (P), placée à 3 m du support gauche:
\[ P = 50 \, \text{kN} \]
2. Réactions aux appuis (verticales):
Les réactions aux appuis sont calculées en prenant en compte l’équilibre des forces (somme des forces verticales = 0) et l’équilibre des moments (somme des moments autour d’un point = 0).
- Équilibre des forces:
\[ R_A + R_B = Q_{total} + P \]
- Équilibre des moments autour du support B (choisi arbitrairement):
\[ R_A \cdot L = Q_{total} \cdot \frac{L}{2} + P \cdot 3 \, \text{m} \] \[ R_A \cdot 10 = 300 \cdot 5 + 50 \cdot 3 = 1500 + 150 = 1650 \, \text{kNm} \] \[ R_A = \frac{1650}{10} \] \[ R_A = 165 \, \text{kN} \]
\[ R_B = Q_{total} + P – R_A \] \[ R_B = 300 + 50 – 165 \] \[ R_B = 185 \, \text{kN} \]
Étape 2: Diagramme des moments fléchissants et des forces de cisaillement
1. Moment fléchissant \(M_y\) (dû aux charges verticales):
Calcul du moment maximal sous la charge concentrée de la grue:
\[ M_y(\text{max}) = R_A \cdot 3 – q \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} \] \[ M_y(\text{max}) = 165 \cdot 3 – 30 \cdot 3 \cdot 1.5 \] \[ M_y(\text{max}) = 495 – 135 \] \[ M_y(\text{max}) = 360 \, \text{kNm} \]
2. Moment fléchissant \(M_z\) (dû aux charges latérales):
Calculons le moment maximal en supposant que les charges latérales sont réparties uniformément:
\[ M_z(\text{max}) = \frac{W_{total} \cdot L}{8} \] \[ M_z(\text{max}) = \frac{100 \cdot 10}{8} \] \[ M_z(\text{max}) = 125 \, \text{kNm} \]
\[ W_{total} = w \cdot L \] \[ W_{total} = 10 \, \text{kN/m} \cdot 10 \, \text{m} \] \[ W_{total} = 100 \, \text{kN} \]
Étape 3: Calcul de la torsion
1. Moment de torsion (T):
Le moment de torsion est déjà donné
\[ T = 20 \, \text{kNm} \]
Étape 4: Vérification de la section
1. Moments d’inertie pour une section en I:
- Moment d’inertie \(I_y\) (autour de l’axe horizontal):
\[ I_y = \frac{b \cdot t_f^3}{12} \times 2 + b \cdot t_f \cdot \left(\frac{h}{2} – \frac{t_f}{2}\right)^2 \times 2 + \frac{t_w \cdot (h – 2 \cdot t_f)^3}{12} \] \[ I_y = 0.00057465 \, \text{m}^4 \]
- Moment d’inertie \(I_z\) (autour de l’axe vertical):
\[ I_z = \frac{(h – 2 \cdot t_f) \cdot t_w^3}{12} + 2 \cdot \left(\frac{t_f \cdot b^3}{12} + t_f \cdot b \cdot \left(\frac{b}{2} – \frac{t_w}{2}\right)^2 \right) \] \[
I_z = 0.0011326725 \, \text{m}^4 \]
2. Contraintes de flexion et de torsion:
- Contraintes de flexion:
\[ \sigma_y = \frac{M_y \cdot y}{I_y} \] \[ \sigma_y = 94047 \, \text{Pa} \] \[ \sigma_y = 94 \, \text{MPa}\]
\[ \sigma_z = \frac{M_z \cdot z}{I_z} \] \[ \sigma_z = 7864 \, \text{Pa} \] \[ \sigma_z = 7.86 \, \text{MPa} \]
- Contrainte de torsion:
\[ \tau = \frac{T \cdot r}{J} \] \[ \tau = 1323 \, \text{Pa} \] \[ \tau = 1.32 \, \text{MPa} \]
Conclusion
Les contraintes calculées dans la poutre, 94 MPa pour la flexion et 1.32 MPa pour la torsion, sont bien en dessous de la limite d’élasticité de l’acier (250 MPa), ce qui indique que la poutre est adéquate pour résister aux charges appliquées sans subir de déformation plastique ou de rupture.
Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier
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