Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir
Comprendre le Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir
Un réservoir cylindrique vertical est utilisé dans une installation industrielle pour stocker de l’eau qui sera ensuite utilisée dans divers processus de fabrication.
Le réservoir est scellé au sommet et contient de l’air au-dessus de l’eau, ce qui crée une pression supplémentaire sur le liquide.
Le but de cet exercice est de calculer la pression au fond du réservoir en prenant en compte la hauteur du liquide et la pression de l’air au-dessus de celui-ci.
Pour comprendre le Calcul de la Pression d’Eau, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Hauteur du liquide dans le réservoir, \( h \) = 10 m
- Densité de l’eau, \( \rho \) = 1000 kg/m³
- Pression de l’air au sommet du réservoir, \( P_{\text{air}} \) = 120 kPa
- Accélération due à la gravité, \( g \) = 9.81 m/s²
Questions:
1. Calculer la pression hydrostatique au fond du réservoir due à la colonne d’eau.
2. Ajouter la pression de l’air au résultat précédent pour obtenir la pression totale au fond du réservoir.
3. Discuter de l’impact de l’augmentation de la hauteur du liquide ou de la pression de l’air sur la pression totale au fond.
Correction : Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir
1. Calcul de la pression hydrostatique \( P_{\text{hydro}} \)
La pression hydrostatique est la pression exercée par la colonne d’eau due à la gravité. Elle est calculée avec la formule :
\[ P_{\text{hydro}} = \rho \cdot g \cdot h \]
Où :
- \( \rho \) est la densité de l’eau, qui est de 1000 kg/m³ pour l’eau pure à température ambiante.
- \( g \) est l’accélération due à la gravité, approximativement 9.81 m/s² sur Terre.
- \( h \) est la hauteur du liquide dans le réservoir, ici 10 m.
Substitution des valeurs :
\[ P_{\text{hydro}} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 10 \, \text{m} \] \[ P_{\text{hydro}} = 98100 \, \text{Pa} \] \[ P_{\text{hydro}} = 98.1 \, \text{kPa} \]
2. Calcul de la pression totale au fond du réservoir \( P_{\text{total}} \)
La pression totale au fond du réservoir est la somme de la pression hydrostatique et de la pression de l’air au-dessus de l’eau.
Formule :
\[ P_{\text{total}} = P_{\text{hydro}} + P_{\text{air}} \]
Où \( P_{\text{air}} \) est la pression de l’air, donnée comme 120 kPa.
Substitution des valeurs :
\[ P_{\text{total}} = 98.1 \, \text{kPa} + 120 \, \text{kPa} \] \[ P_{\text{total}} = 218.1 \, \text{kPa} \]
Conclusion:
La pression totale au fond du réservoir est de 218.1 kPa. Cela inclut la pression due à la colonne d’eau ainsi que la pression atmosphérique supplémentaire exercée par l’air scellé au-dessus de l’eau.
3. Questions pour approfondissement
1. Si la hauteur du liquide double :
- Nouvelle hauteur, \( h’ = 20 \, \text{m} \)
Nouvelle pression hydrostatique:
\[ P’_{\text{hydro}} = 1000 \times 9.81 \times 20 \] \[ P’_{\text{hydro}} = 196200 \, \text{Pa} \]
Nouvelle pression totale:
\[ P’_{\text{total}} = 196.2 \, \text{kPa} + 120 \, \text{kPa} \] \[ P’_{\text{total}} = 316.2 \, \text{kPa} \]
2. Si la pression de l’air augmente de 50 kPa :
Nouvelle pression de l’air:
\[ P »_{\text{air}} = 120 \, \text{kPa} + 50 \, \text{kPa} \] \[ P »_{\text{air}} = 170 \, \text{kPa} \]
Nouvelle pression totale:
\[ P »_{\text{total}} = 98.1 \, \text{kPa} + 170 \, \text{kPa} \] \[ P »_{\text{total}} = 268.1 \, \text{kPa} \]
Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir
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