Calcul de la contrainte ultime sur une semelle

Comprendre le Calcul de la contrainte ultime sur une semelle

Dans le cadre d’un projet de construction d’un bâtiment résidentiel, il est nécessaire de concevoir les fondations qui supporteront les charges de la structure. Une des solutions envisagées est l’utilisation d’une semelle rectangulaire. Pour assurer la sécurité et la stabilité de la construction, il est crucial de déterminer la contrainte ultime du sol sous cette semelle.

Pour comprendre la Capacité Portante d’une Semelle Isolée, cliquez sur le lien.

Données fournies :

1. Dimensions de la semelle rectangulaire :
   • Longueur, L = 2 m
   • Largeur, B = 1 m
2. Caractéristiques du sol :
   • Cohésion (c) = 25 kN/m²
   • Angle de frottement interne (φ) = 30°
   • Poids volumique du sol (γ) = 18 kN/m³
   • Profondeur de la fondation (Df) = 1.5 m
3. Facteur de sécurité (FS) requis = 3

Question : Calculer la contrainte ultime (qu) que le sol peut supporter sous la semelle rectangulaire en considérant une marge de sécurité.

Correction : Calcul de la contrainte ultime sur une semelle

1. Rappel des Données et Hypothèses

Nous utiliserons la formule classique de Terzaghi pour une semelle isolée. Pour tenir compte de la forme de la semelle, nous intégrerons des facteurs de forme. Dans cet exemple, nous utiliserons les valeurs usuelles pour un sol avec $\varphi = 30^\circ$ :

Facteurs de capacité portante :

• $N_c = 30$
• $N_q = 18$
• $N_\gamma = 22$

Facteurs de forme (pour une semelle rectangulaire) :

• Pour la cohésion : $s_c = 1 + 0.2 \, (B/L)$
• Pour la composante en surcharge : $s_q = 1 + 0.1 \, (B/L)$
• Pour la composante en poids propre : $s_\gamma = 1 – 0.4 \, (B/L)$

Avec $B = 1\,\text{m}$ et $L = 2\,\text{m}$ :

• $B/L = \frac{1}{2} = 0.5$
• $s_c = 1 + 0.2 \times 0.5 = 1.1$
• $s_q = 1 + 0.1 \times 0.5 = 1.05$
• $s_\gamma = 1 – 0.4 \times 0.5 = 0.8$

Effet de la profondeur :
Pour cet exercice, nous considérerons que les facteurs de profondeur sont égaux à 1 (ce qui est une simplification courante pour des fondations peu profondes)

2. Calcul de la Pression de Surcharge

La pression due au poids du sol au niveau de la fondation (appelée surcharge) est donnée par :

$$q = \gamma \times D_f$$

Données :

$\gamma = 18\,\text{kN/m}^3$ et $D_f = 1.5\,\text{m}$

Calcul :

$$q = 18 \times 1.5$$ $$q = 27\,\text{kN/m}^2$$

3. Formule de Terzaghi pour la Capacité Portante Ultime

La formule de Terzaghi adaptée pour une semelle rectangulaire est :

$$q_u = c \, N_c \, s_c + q \, N_q \, s_q + \frac{1}{2} \, \gamma \, B \, N_\gamma \, s_\gamma$$

Substitution des Valeurs et Calcul des Termes:

a) Terme Cohésionnel

$$\text{Terme 1} = c \, N_c \, s_c$$

Substitution et calcul :

$$\text{Terme 1} = 25\,(\text{kN/m}^2) \times 30 \times 1.1$$ $$\text{Terme 1} = 825\,\text{kN/m}^2$$

b) Terme de la Surcharge

$$\text{Terme 2} = q \, N_q \, s_q$$

Substitution et calcul :

$$\text{Terme 2} = 27\,(\text{kN/m}^2) \times 18 \times 1.05$$ $$\text{Terme 2} \approx 510.3\,\text{kN/m}^2$$

c) Terme du Poids Propre du Sol sous la Semelle

$$\text{Terme 3} = \frac{1}{2} \, \gamma \, B \, N_\gamma \, s_\gamma$$

Substitution et calcul :

$$\text{Terme 3} = \frac{1}{2} \times 18\,(\text{kN/m}^3) \times 1\,(\text{m}) \times 22 \times 0.8$$ $$\text{Terme 3} = 158.4\,\text{kN/m}^2$$

4. Calcul de la Capacité Portante Ultime $q_u$

Additionnons les trois termes :

$$q_u = \text{Terme 1} + \text{Terme 2} + \text{Terme 3}$$ $$q_u = 825 + 510.3 + 158.4$$ $$q_u \approx 1493.7\,\text{kN/m}^2$$

5. Application du Facteur de Sécurité

Le facteur de sécurité $FS$ est appliqué pour obtenir la contrainte admissible (ou la capacité de conception). Ainsi, la contrainte ultime disponible avec la marge de sécurité est :

$$q_{u,\text{design}} = \frac{q_u}{FS}$$

Substitution :

$$q_{u,\text{design}} = \frac{1493.7}{3}$$ $$q_{u,\text{design}} \approx 497.9\,\text{kN/m}^2$$

Conclusion

La capacité portante ultime du sol sous la semelle est :

$$q_u \approx 1494\,\text{kN/m}^2$$

Mais, en appliquant le facteur de sécurité $FS = 3$, la contrainte de conception (ou contrainte ultime avec marge de sécurité) est :

$$q_{u,\text{design}} \approx 498\,\text{kN/m}^2$$

Remarque :

Les valeurs des facteurs $N_c$, $N_q$ et $N_\gamma$ ainsi que les facteurs de forme sont souvent déterminées en fonction de la méthode retenue et de la géométrie exacte de la semelle. Les valeurs utilisées ici correspondent à des approximations classiques pour un sol avec $\varphi = 30^\circ$.

Calcul de la contrainte ultime sur une semelle

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