Étude des Forces dans les Barres d’une Structure
Comprendre l’Étude des Forces dans les Barres d’une Structure
Dans le cadre d’une mission d’ingénierie civile, vous êtes chargé de vérifier la stabilité d’une structure temporaire utilisée lors d’un événement en plein air. La structure est composée de barres d’acier assemblées en forme de tréteau.
Vous devez calculer les forces internes dans les barres pour vous assurer qu’elles sont dans les limites de sécurité.
Pour comprendre le Calcul du Centre de Gravité d’une Poutre, cliquez sur le lien.
Données de l’exercice:
- La structure est modélisée comme un treillis plan simple.
- Les nœuds du treillis sont connectés par des barres en acier dont les propriétés sont homogènes et isotropes.
- La structure est soumise à une charge verticale de \(5000 \, \text{N}\) appliquée au sommet du tréteau.
- Dimensions de la structure :
– Hauteur du tréteau : \(3 \, \text{m}\)
– Base du tréteau : \(4 \, \text{m}\)
- La structure repose sur deux appuis : un appui fixe à l’un des côtés de la base et un appui mobile à l’autre côté.
Note: Les barres ont la même section et le même matériau.
Questions:
1. Déterminer les réactions aux appuis en utilisant les conditions d’équilibre.
2. Calculer les forces dans chaque barre du tréteau en appliquant la méthode des nœuds ou la méthode des sections.
Correction : Étude des Forces dans les Barres d’une Structure
1. Détermination des réactions aux appuis
Diagramme de corps libre:
- Les réactions aux appuis sont notées \( R_A \) et \( R_B \).
- \( R_A \) est verticale car l’appui est fixe.
- \( R_B \) est verticale car l’appui est mobile (ne résiste pas aux forces horizontales).
Équations d’équilibre:
- Équilibre vertical :
\[ R_A + R_B = 5000 \, \text{N} \]
- Équilibre des moments autour de l’appui A (pour éliminer \( R_A \) et trouver \( R_B \)):
\[ R_B \times 4 \, \text{m} = 5000 \, \text{N} \times 1.5 \, \text{m} \] \[ R_B = \frac{5000 \, \text{N} \times 1.5 \, \text{m}}{4 \, \text{m}} \] \[ R_B = 1875 \, \text{N} \]
- En substituant \( R_B \) dans l’équilibre vertical:
\[ R_A + 1875 \, \text{N} = 5000 \, \text{N} \] \[ R_A = 5000 \, \text{N} – 1875 \, \text{N} \] \[ R_A = 3125 \, \text{N} \]
2. Calcul des forces dans les barres
Nous utilisons la méthode des nœuds pour calculer les forces dans les barres. Sachant que toutes les barres ont la même section et le même matériau pour les calculs.
Nœud au sommet (point de charge appliquée):
- Trois barres se rencontrent : deux barres obliques (gauche et droite) et une verticale.
La force dans la barre verticale est égale à la charge appliquée (par symétrie et directement sous la charge) :
\[ F_{\text{verticale}} = -5000 \, \text{N} \] (compression)
Forces dans les barres obliques:
- Utilisation de la géométrie du tréteau pour trouver les angles des barres obliques.
Angle \( \theta \) avec l’horizontale (tan inverse de la hauteur sur la demi-base):
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3 \, \text{m}}{2 \, \text{m}}\right) \] \[ \theta \approx 56.31^\circ \]
Les forces dans les barres obliques doivent respecter l’équilibre au sommet du tréteau.
Pour un tréteau symétrique, les composantes verticales des forces dans les barres obliques doivent chacune supporter la moitié de la charge appliquée au sommet pour s’opposer à la gravité, et les composantes horizontales doivent s’équilibrer entre elles.
- Composante verticale de chaque barre oblique (en assumant une répartition égale et symétrique de la charge verticale) :
\[ F_{\text{oblique,vert}} = \frac{5000 \, N}{2} \] \[ F_{\text{oblique,vert}}= 2500 \, N \quad \text{(tension)} \]
- Composante horizontale de chaque barre oblique :
\[ F_{\text{oblique,horiz}} = F_{\text{oblique,vert}} \times \tan(\theta) \] \[ F_{\text{oblique,horiz}} = 2500 \, N \times \tan(56.31^\circ) \] \[ F_{\text{oblique,horiz}} \approx 2500 \, N \times 1.5 \] \[ F_{\text{oblique,horiz}}= 3750 \, N \]
- Force totale dans chaque barre oblique :
\[ F_{\text{oblique}} = \sqrt{F_{\text{oblique,horiz}}^2 + F_{\text{oblique,vert}}^2} \] \[ F_{\text{oblique}} = \sqrt{(3750 \, N)^2 + (2500 \, N)^2} \] \[ F_{\text{oblique}} = \sqrt{14062500 + 6250000} \] \[ F_{\text{oblique}} = \sqrt{20312500} \] \[ F_{\text{oblique}} \approx 4507 \, N \]
Résumé :
- Réaction à l’appui \( A \) : \( R_A = 3125 \, N \)
- Réaction à l’appui \( B \) : \( R_B = 1875 \, N \)
- Force dans la barre verticale : \( 5000 \, N \) (compression)
- Force dans chaque barre oblique : \( \approx 4507 \, N \) (tension)
Étude des Forces dans les Barres d’une Structure
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