Calcul du Centre de Gravité d’une Poutre
Comprendre le Calcul du Centre de Gravité d’une Poutre
Dans le cadre de la conception d’une structure métallique légère pour une nouvelle installation sportive, un ingénieur doit déterminer le centre de gravité d’une poutre en acier composée de différentes sections hétérogènes pour assurer une stabilité optimale.
La poutre est composée de trois sections rectangulaires avec des densités de matériaux différents.
Pour comprendre le calcul de Contrainte et Raccourcissement dans une Poutre, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Dimensions et matériaux des sections:
- Section 1: Longueur = 2 m, largeur = 50 cm, hauteur = 30 cm, densité = 7,850 kg/m³ (acier).
- Section 2: Longueur = 3 m, largeur = 50 cm, hauteur = 30 cm, densité = 2,700 kg/m³ (aluminium).
- Section 3: Longueur = 1.5 m, largeur = 50 cm, hauteur = 30 cm, densité = 8,960 kg/m³ (bronze).
Question:
Calculer le centre de gravité de la poutre composite en considérant que les sections sont disposées bout à bout dans l’ordre donné (acier, aluminium, bronze), alignées le long de l’axe horizontal.
Correction : Calcul du Centre de Gravité d’une Poutre
Étape 1: Calcul des volumes et des masses de chaque section
Volume de chaque section
- Section 1 (acier):
\[ V1 = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Hauteur} \] \[ V1 = 2\,m \times 0.5\,m \times 0.3\,m \] \[ V1 = 0.3\,m^3 \]
- Section 2 (aluminium):
\[ V2 = 3\,m \times 0.5\,m \times 0.3\,m \] \[ V2 = 0.45\,m^3 \]
- Section 3 (bronze):
\[ V3 = 1.5\,m \times 0.5\,m \times 0.3\,m \] \[ V3 = 0.225\,m^3 \]
Masse de chaque section
- Section 1 (acier):
\[ m1 = \text{Densité} \times V1 \] \[ m1 = 7,850\,kg/m^3 \times 0.3\,m^3 \] \[ m1 = 2,355\,kg \]
- Section 2 (aluminium):
\[ m2 = 2,700\,kg/m^3 \times 0.45\,m^3 \] \[ m2 = 1,215\,kg \]
- Section 3 (bronze):
\[ m3 = 8,960\,kg/m^3 \times 0.225\,m^3 \] \[ m3 = 2,016\,kg \]
Étape 2: Calcul du centre de gravité (position \(xG\))
Position centrale de chaque section
- Section 1 (acier):
– Longueur de la section 1: 2 mètres
Le centre de cette section se trouve à la moitié de sa longueur.
\[ x1 = \frac{\text{Longueur de la section 1}}{2} \] \[ x1 = \frac{2\,m}{2} \] \[ x1 = 1\,m \]
Donc, \( x1 = 1\,m \).
- Section 2 (aluminium):
– Longueur de la section 2: 3 mètres
Pour trouver le centre de la section 2, nous ajoutons la longueur totale de la section 1 à la moitié de la longueur de la section 2.
\[ x2 = \text{Long totale de la section 1} + \frac{\text{Long de la section 2}}{2} \] \[ x2 = 2\,m + \frac{3\,m}{2} \] \[ x2 = 2\,m + 1.5\,m \] \[ x2 = 3.5\,m \]
Donc, \( x2 = 3.5\,m \).
- Section 3 (bronze):
– Longueur de la section 3: 1.5 mètres
Pour localiser le centre de la section 3, nous additionnons les longueurs totales des sections 1 et 2 à la moitié de la longueur de la section 3.
\[ x3 = \text{Long totale des sections 1 et 2} + \frac{\text{Long de la section 3}}{2} \] \[ x3 = (2\,m + 3\,m) + \frac{1.5\,m}{2} \] \[ x3 = 5\,m + 0.75\,m \] \[ x3 = 5.75\,m \]
Donc, \( x3 = 5.75\,m \).
Calcul du centre de gravité global
\[ xG = \frac{m1 \times x1 + m2 \times x2 + m3 \times x3}{m1 + m2 + m3} \] \[ xG = \frac{2355 \times 1 + 1215 \times 3.5 + 2016 \times 5.75}{2355 + 1215 + 2016} \] \[ xG \approx 3.36\,m \]
Cette valeur de 3.36 mètres représente la position du centre de gravité le long de l’axe horizontal de la poutre, en prenant en compte les poids et les positions des différentes sections. Ce calcul garantit que la structure sera stable une fois installée.
Calcul du Centre de Gravité d’une Poutre
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