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Changement de Longueur des Matériaux

Changement de Longueur des Matériaux

Changement de Longueur des Matériaux

Contexte : La Dilatation ThermiqueLa dilatation thermique est le phénomène par lequel les dimensions d'un corps changent lorsque sa température varie..

En génie civil, il est crucial de prendre en compte les effets des variations de température sur les structures. Les matériaux se dilatent lorsqu'ils sont chauffés et se contractent lorsqu'ils refroidissent. Pour les grands ouvrages comme les ponts, ces changements dimensionnels, bien que faibles en proportion, peuvent être significatifs en valeur absolue et engendrer des contraintes thermiquesForces internes qui apparaissent dans un matériau lorsque sa dilatation ou sa contraction est empêchée. considérables si les mouvements sont empêchés.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer l'allongement (ou le raccourcissement) d'une structure métallique soumise à des variations de température, et à comprendre l'importance des joints de dilatation.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de dilatation thermique linéaire.
  • Appliquer la formule de la dilatation pour calculer un changement de longueur.
  • Saisir l'importance des joints de dilatation dans les ouvrages d'art.

Données de l'étude

Un pont à poutres en acier, d'une longueur totale de 250 mètres, est construit dans une région où la température peut varier de -15°C en hiver à +40°C en été. On supposera que le pont a été assemblé et mis en place à une température de référence de 15°C. Nous devons calculer la variation de longueur totale du tablier pour dimensionner les joints de dilatation.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type de structure Pont à poutres en acier
Matériau principal Acier de construction S235
Localisation Zone à fortes variations thermiques
Schéma simplifié du pont
L₀ = 250 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur initiale du pont (à \(T_{\text{ref}}\)) \(L_0\) 250 \(\text{m}\)
Coefficient de dilatation de l'acier \(\alpha\) \(12 \times 10^{-6}\) \(\text{°C}^{-1}\)
Température de référence \(T_{\text{ref}}\) 15 \(\text{°C}\)
Température minimale \(T_{\text{min}}\) -15 \(\text{°C}\)
Température maximale \(T_{\text{max}}\) +40 \(\text{°C}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la variation de température en été (\(\Delta T_{\text{été}}\)) et en hiver (\(\Delta T_{\text{hiver}}\)) par rapport à la température de référence.
  2. Déterminer l'allongement du pont en été (\(\Delta L_{\text{été}}\)).
  3. Déterminer le raccourcissement du pont en hiver (\(\Delta L_{\text{hiver}}\)).
  4. En déduire la variation de longueur totale (\(\Delta L_{\text{total}}\)) que le joint de dilatation doit pouvoir accommoder.
  5. Expliquer brièvement pourquoi ce joint de dilatation est indispensable.

Les bases sur la Dilatation Thermique

Lorsqu'un matériau est chauffé, l'agitation thermique de ses atomes augmente, ce qui les amène à occuper plus d'espace. Il en résulte une augmentation des dimensions du matériau. Inversement, un refroidissement provoque une contraction. Ce phénomène est particulièrement important pour les structures de grande dimension.

1. Dilatation Linéaire
Pour un objet de longueur initiale \(L_0\), la variation de longueur \(\Delta L\) due à une variation de température \(\Delta T\) est donnée par la formule : \[ \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T \]

2. Coefficient de Dilatation (\(\alpha\))
Ce coefficient est une propriété intrinsèque du matériau. Il représente l'allongement relatif d'un matériau pour une élévation de température de 1 degré Celsius (ou Kelvin). L'acier a un coefficient d'environ \(12 \times 10^{-6} \text{ °C}^{-1}\), ce qui signifie qu'une barre d'acier de 1 mètre s'allonge de 12 micromètres (0.012 mm) pour chaque degré Celsius d'augmentation de température.

Correction : Changement de Longueur des Matériaux

Question 1 : Calculer la variation de température en été (\(\Delta T_{\text{été}}\)) et en hiver (\(\Delta T_{\text{hiver}}\)).

Principe

Pour évaluer séparément la dilatation en été et la contraction en hiver, nous devons calculer l'écart de température par rapport à l'état de référence (\(T_{\text{ref}}\)). L'un représentera l'échauffement maximal (été), l'autre le refroidissement maximal (hiver).

Mini-Cours

La température de référence est un point de départ neutre. Les variations de longueur sont calculées à partir de cet état. Une température supérieure à \(T_{\text{ref}}\) provoquera un allongement, tandis qu'une température inférieure provoquera un raccourcissement.

Remarque Pédagogique

Décomposer le problème en deux cas (été et hiver) permet de mieux visualiser les deux mouvements distincts que le joint de dilatation devra absorber : l'expansion et la contraction.

Normes

L'Eurocode 1 partie 1-5 ("Actions thermiques") définit les procédures pour déterminer les variations de température à considérer pour le calcul des ponts, en se basant sur la localisation et le type de structure.

Formule(s)

Formule de la variation de température en été

\[ \Delta T_{\text{été}} = T_{\text{max}} - T_{\text{ref}} \]

Formule de la variation de température en hiver

\[ \Delta T_{\text{hiver}} = T_{\text{ref}} - T_{\text{min}} \]
Hypothèses

Nous supposons que les températures données sont uniformes sur toute la structure et représentent les extrêmes thermiques pertinents pour le calcul.

Donnée(s)

Nous extrayons les températures de l'énoncé :

ParamètreSymboleValeurUnité
Température maximale\(T_{\text{max}}\)40\(\text{°C}\)
Température de référence\(T_{\text{ref}}\)15\(\text{°C}\)
Température minimale\(T_{\text{min}}\)-15\(\text{°C}\)
Astuces

Pour l'hiver, attention au double signe négatif : soustraire un nombre négatif équivaut à une addition. C'est une source d'erreur fréquente.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons les deux plages de température à calculer par rapport à la référence.

Écarts de température à calculer
Tmin (-15°C)Tref (15°C)Tmax (40°C)ΔThiver = ?ΔTété = ?
Calcul(s)

Calcul de \(\Delta T_{\text{été}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta T_{\text{été}} &= 40 - 15 \\ &= 25 \text{ °C} \end{aligned} \]

Calcul de \(\Delta T_{\text{hiver}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta T_{\text{hiver}} &= 15 - (-15) \\ &= 15 + 15 \\ &= 30 \text{ °C} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Les valeurs calculées sont reportées sur le diagramme.

Écarts de température calculés
TminTrefTmaxΔThiver = 30°CΔTété = 25°C
Réflexions

Le pont subit un échauffement de 25°C en été et un refroidissement de 30°C en hiver. Notez que l'écart n'est pas symétrique par rapport à la température de référence. Ces deux valeurs serviront de base pour les calculs de variation de longueur.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est une faute de signe. Oublier que l'on soustrait une valeur négative (ce qui revient à une addition) peut mener à un \(\Delta T\) erroné et sous-estimer le phénomène.

Points à retenir

Les variations de longueur se calculent toujours par rapport à une température de référence, qui correspond à l'état "neutre" de la structure (souvent sa température lors de la construction).

Le saviez-vous ?

Pour les très grands ponts suspendus, la couleur de la peinture peut avoir un impact ! Une couleur foncée absorbe plus de rayonnement solaire, ce qui peut augmenter la température de l'acier de plusieurs degrés par rapport à une couleur claire, un effet que les ingénieurs doivent parfois prendre en compte.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Pourquoi ne pas prendre 0°C comme référence ?

On pourrait, mais prendre la température de construction comme référence est plus réaliste. C'est à partir de cet état initial que la structure commencera à "travailler" thermiquement, en se dilatant ou en se contractant.

Résultat Final
La variation de température est de 25 °C en été et de 30 °C en hiver par rapport à la référence.
A vous de jouer

Si la température de référence était de 20°C, quel serait le \(\Delta T_{\text{hiver}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Calculer l'écart de T° par rapport à une référence.
  • Formules : \(\Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{initial}}\).
  • Point de Vigilance : Attention aux signes négatifs dans les soustractions.

Question 2 : Déterminer l'allongement du pont en été (\(\Delta L_{\text{été}}\)).

Principe

Nous appliquons le principe de dilatation linéaire pour calculer l'allongement du pont lorsqu'il est soumis à l'échauffement estival (\(\Delta T_{\text{été}}\)), c'est-à-dire l'augmentation de longueur par rapport à son état de référence.

Mini-Cours

La dilatation est un phénomène physique qui se produit à l'échelle atomique. La chaleur augmente l'énergie cinétique des atomes du matériau, ce qui accroît la distance moyenne entre eux. L'addition de ces minuscules augmentations de distance sur toute la longueur de la structure produit un allongement macroscopique visible.

Remarque Pédagogique

Vérifiez toujours la cohérence des unités avant de calculer. Ici, \(\alpha\) est en \(\text{°C}^{-1}\), \(L_0\) en \(\text{m}\) et \(\Delta T\) en \(\text{°C}\). Les \(\text{°C}^{-1}\) et \(\text{°C}\) s'annulent, laissant un résultat en mètres, ce qui est correct.

Normes

L'Eurocode 3 (Calcul des structures en acier) spécifie une valeur de \(\alpha = 12 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}\) pour tous les aciers de construction, valeur que nous utilisons pour ce calcul.

Formule(s)

Formule de l'allongement estival

\[ \Delta L_{\text{été}} = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T_{\text{été}} \]
Hypothèses

Nous supposons que le coefficient de dilatation de l'acier est constant sur la plage de température étudiée et que le pont peut s'allonger librement.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la question précédente :

ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de dilatation\(\alpha\)\(12 \times 10^{-6}\)\(\text{°C}^{-1}\)
Longueur initiale\(L_0\)250\(\text{m}\)
Variation de température (été)\(\Delta T_{\text{été}}\)25\(\text{°C}\)
Astuces

Pour un calcul mental rapide : \(12 \times 250 = 3000\). Donc \(\Delta L_{\text{été}} = 3000 \times 10^{-6} \times 25 = 0.003 \times 25\). Un quart de 0.03 est environ 0.075. Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Le pont à sa longueur de référence \(L_0\) et l'allongement \(\Delta L_{\text{été}}\) à calculer.

Allongement estival à calculer
L₀ (Tref)ΔLété = ?
Calcul(s)

Calcul de l'allongement

\[ \begin{aligned} \Delta L_{\text{été}} &= (12 \times 10^{-6}) \times 250 \times 25 \\ &= 0.003 \times 25 \\ &= 0.075 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le pont a atteint sa longueur maximale en été.

Pont à Tmax
L₀7.5 cm
Réflexions

En été, le pont s'allonge de 0.075 m, soit 7.5 cm, par rapport à sa longueur de construction. C'est la première partie du mouvement que le joint de dilatation devra absorber.

Points de vigilance

Veillez à bien utiliser le \(\Delta T\) correspondant à la bonne saison (ici, \(\Delta T_{\text{été}} = 25 \text{ °C}\)). Utiliser une autre valeur conduirait à un résultat erroné.

Points à retenir

Un \(\Delta T\) positif (échauffement) conduit à une variation de longueur \(\Delta L\) positive, c'est-à-dire un allongement.

Le saviez-vous ?

Les bilames, utilisés dans les thermostats mécaniques (vieux fers à repasser, grille-pains), sont constitués de deux métaux avec des coefficients de dilatation différents collés l'un à l'autre. En chauffant, le bilame se courbe car un métal se dilate plus que l'autre, ce qui permet d'ouvrir ou de fermer un contact électrique.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Le poids du pont influence-t-il la dilatation ?

Non, la dilatation thermique est indépendante des forces appliquées à la structure (comme son propre poids). Elle ne dépend que du matériau, de la géométrie initiale et de la température.

Résultat Final
L'allongement maximal du pont en été est de 0.075 m (soit 7.5 cm).
A vous de jouer

Si le pont était en aluminium (\(\alpha = 23 \times 10^{-6} \text{ °C}^{-1}\)), quel serait son allongement en été (en m) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Dilatation due à un échauffement.
  • Formule : \(\Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T_{\text{été}}\).
  • Point de Vigilance : Utiliser le bon \(\Delta T\).

Question 3 : Déterminer le raccourcissement du pont en hiver (\(\Delta L_{\text{hiver}}\)).

Principe

Symétriquement au cas estival, nous appliquons ici le principe de contraction thermique pour calculer le raccourcissement du pont lorsqu'il subit le refroidissement hivernal (\(\Delta T_{\text{hiver}}\)) par rapport à son état de référence.

Mini-Cours

La contraction thermique est le phénomène inverse de la dilatation. Lorsque la température baisse, l'agitation des atomes diminue, leur permettant de se rapprocher. La distance interatomique moyenne diminue, et par conséquent, la longueur totale du matériau se réduit.

Remarque Pédagogique

Le calcul est identique à celui de l'été, seule la valeur de la variation de température change. La physique sous-jacente est la même, ce qui montre la cohérence du modèle.

Normes

Les normes de construction ne distinguent pas le coefficient de dilatation pour la chauffe ou le refroidissement. La même valeur de \(\alpha\) est utilisée dans les deux cas, car le phénomène est considéré comme réversible et symétrique.

Formule(s)

Formule du raccourcissement hivernal

\[ \Delta L_{\text{hiver}} = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T_{\text{hiver}} \]
Hypothèses

Nous supposons que le pont peut se contracter librement sans être bloqué, ce qui est le rôle du joint de dilatation.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la première question :

ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de dilatation\(\alpha\)\(12 \times 10^{-6}\)\(\text{°C}^{-1}\)
Longueur initiale\(L_0\)250\(\text{m}\)
Variation de température (hiver)\(\Delta T_{\text{hiver}}\)30\(\text{°C}\)
Astuces

Le calcul est \(0.003 \times 30\). On peut penser à \(3 \times 30 = 90\) et ajuster les décimales : \(0.090\). Cette méthode permet de se concentrer sur les chiffres significatifs avant de placer la virgule.

Schéma (Avant les calculs)

Le pont à sa longueur de référence \(L_0\) et le raccourcissement \(\Delta L_{\text{hiver}}\) à calculer.

Raccourcissement hivernal à calculer
L₀ (Tref)ΔLhiver = ?
Calcul(s)

Calcul du raccourcissement

\[ \begin{aligned} \Delta L_{\text{hiver}} &= (12 \times 10^{-6}) \times 250 \times 30 \\ &= 0.003 \times 30 \\ &= 0.090 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le pont a atteint sa longueur minimale en hiver.

Pont à Tmin
L₀ (Tref)9.0 cm
Réflexions

En hiver, le pont se raccourcit de 0.090 m, soit 9.0 cm. C'est l'ouverture que le joint de dilatation devra permettre pour que le pont puisse se contracter librement sans tirer sur ses appuis.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser le \(\Delta T\) hivernal. Une confusion avec le \(\Delta T\) estival est une erreur facile à commettre si on ne lit pas attentivement la question.

Points à retenir

Un \(\Delta T\) négatif (refroidissement) conduit à une variation de longueur \(\Delta L\) négative, soit un raccourcissement. Ici, nous avons calculé la valeur absolue de ce raccourcissement.

Le saviez-vous ?

Les liquides se dilatent aussi. C'est le principe du thermomètre à mercure ou à alcool : le liquide contenu dans le réservoir se dilate avec la chaleur et monte dans un tube très fin (le capillaire), ce qui permet de visualiser une petite variation de volume par une grande variation de hauteur.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Le résultat devrait-il être négatif ?

Techniquement, un raccourcissement est une variation de longueur négative. Cependant, en ingénierie, on travaille souvent avec les valeurs absolues des déformations pour dimensionner des espaces (comme un joint), d'où le résultat positif de 0.090 m.

Résultat Final
Le raccourcissement maximal du pont en hiver est de 0.090 m (soit 9.0 cm).
A vous de jouer

Si la température minimale était de -25°C au lieu de -15°C, quel serait le raccourcissement en mètres ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Contraction due à un refroidissement.
  • Formule : \(\Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T_{\text{hiver}}\).
  • Point de Vigilance : Utiliser la bonne valeur de \(\Delta T\).

Question 4 : En déduire la variation de longueur totale (\(\Delta L_{\text{total}}\)).

Principe

La variation totale, ou "course" du joint, est la somme de l'amplitude maximale de l'allongement en été et du raccourcissement en hiver. C'est l'espace total que le joint doit être capable d'accommoder pour couvrir toute la plage de mouvement.

Mini-Cours

Le joint de dilatation est conçu pour un mouvement total qui est la somme des déformations extrêmes par rapport à un point neutre. La longueur totale du pont varie entre \(L_0 - \Delta L_{\text{hiver}}\) et \(L_0 + \Delta L_{\text{été}}\). L'écart entre ces deux extrêmes est bien la somme des deux variations.

Remarque Pédagogique

Cette étape finale de sommation est cruciale. Dimensionner le joint uniquement pour l'allongement ou le raccourcissement serait une grave erreur de conception, car il ne pourrait pas gérer le mouvement dans l'autre sens.

Normes

Les normes de conception des joints de chaussée (par exemple, les documents du SETRA en France) spécifient non seulement le calcul du "souffle" (la course totale) du joint, mais aussi ses caractéristiques de durabilité, d'étanchéité et de confort pour les usagers.

Formule(s)

Formule de la variation totale

\[ \Delta L_{\text{total}} = \Delta L_{\text{été}} + \Delta L_{\text{hiver}} \]
Hypothèses

Nous supposons que les effets d'allongement et de raccourcissement sont les seuls mouvements à prendre en compte pour le dimensionnement du joint.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des deux questions précédentes :

ParamètreSymboleValeurUnité
Allongement estival\(\Delta L_{\text{été}}\)0.075\(\text{m}\)
Raccourcissement hivernal\(\Delta L_{\text{hiver}}\)0.090\(\text{m}\)
Astuces

Un excellent moyen de vérifier ce calcul est d'utiliser l'amplitude thermique totale de la toute première version de l'exercice (\(\Delta T = T_{\text{max}} - T_{\text{min}} = 55 \text{ °C}\)). On doit retrouver le même résultat : \(\Delta L_{\text{total}} = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T_{\text{total}} = (12 \times 10^{-6}) \times 250 \times 55 = 0.165 \text{ m}\). C'est bien le cas !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la somme des deux mouvements par rapport à l'état de référence.

Course totale du joint
L₀ (Tref)ΔLétéΔLhiverΔLtotal = ?
Calcul(s)

Calcul de la variation totale

\[ \begin{aligned} \Delta L_{\text{total}} &= 0.075 + 0.090 \\ &= 0.165 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La course totale du joint est la somme des deux déformations.

Course totale calculée
Plage de Mouvement TotalPosition HiverPosition ÉtéΔLtotal = 16.5 cm
Réflexions

La variation totale est de 16.5 cm. C'est la dimension minimale que le joint de dilatation doit pouvoir accommoder pour que le pont ne subisse aucune contrainte thermique. En pratique, les ingénieurs ajoutent une marge de sécurité à cette valeur calculée.

Points de vigilance

L'erreur à ne pas commettre serait de soustraire les valeurs ou de n'en prendre qu'une des deux. Il faut bien additionner l'amplitude de l'allongement et celle du raccourcissement.

Points à retenir

La course totale d'un joint de dilatation est la somme de la dilatation maximale et de la contraction maximale par rapport à l'état de référence.

Le saviez-vous ?

Les joints de dilatation des très grands ponts, comme les ponts à haubans, peuvent être des pièces mécaniques extrêmement complexes et coûteuses, parfois appelées "joints à peigne" ou "joints cantilever", capables d'absorber des mouvements de plus d'un mètre !

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Pourquoi la méthode du \(\Delta T\) total donne-t-elle le même résultat ?

Parce que mathématiquement, \(\alpha L_0 (T_{max} - T_{ref}) + \alpha L_0 (T_{ref} - T_{min})\) se simplifie en \(\alpha L_0 (T_{max} - T_{ref} + T_{ref} - T_{min})\), ce qui donne \(\alpha L_0 (T_{max} - T_{min})\). C'est la même chose, mais la décomposition permet de mieux comprendre les mouvements individuels.

Résultat Final
La variation de longueur totale que le joint doit accommoder est de 0.165 m (soit 16.5 cm).
A vous de jouer

Avec \(T_{ref}=20°C\), \(T_{max}=45°C\), \(T_{min}=-20°C\), quel serait le \(\Delta L_{\text{total}}\) en mètres ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : La course totale est la somme des mouvements extrêmes.
  • Formule : \(\Delta L_{\text{total}} = \Delta L_{\text{été}} + \Delta L_{\text{hiver}}\).
  • Point de Vigilance : Bien additionner les deux valeurs.

Question 5 : Expliquer brièvement pourquoi ce joint de dilatation est indispensable.

Principe

Le concept physique clé est celui de la contrainte thermique. Si on empêche un matériau de se déformer librement sous l'effet de la température, il développe des forces internes (contraintes) qui peuvent être extrêmement élevées et endommager la structure.

Mini-Cours

La contrainte thermique (\(\sigma_{\text{th}}\)) dans un matériau totalement bloqué est donnée par la loi de Hooke : \(\sigma_{\text{th}} = E \cdot \epsilon_{\text{th}}\), où E est le module d'Young du matériau (sa rigidité) et \(\epsilon_{\text{th}}\) est la déformation empêchée (\(\alpha \cdot \Delta T\)). La formule complète est donc :
\(\sigma_{\text{th}} = E \cdot \alpha \cdot \Delta T\).
Cette formule montre que la contrainte ne dépend pas de la longueur de l'élément, mais seulement du matériau et de la variation de température !

Remarque Pédagogique

Un bon ingénieur ne se contente pas de calculer les déformations, il anticipe leurs conséquences. La question "Et si... ?" est fondamentale. Ici : "Et si on empêche cette déformation de 16.5 cm ?". La réponse est : la structure risque de se rompre ou de se déformer de manière irréversible.

Normes

Les codes de calcul des structures (comme les Eurocodes) imposent la prise en compte des actions thermiques et le dimensionnement de dispositifs adaptés, comme les joints de dilatation, pour garantir que les contraintes induites restent dans des limites admissibles.

Formule(s)

Formule de la contrainte thermique

\[ \sigma_{\text{thermique}} = E_{\text{acier}} \cdot \alpha \cdot \Delta T \]
Hypothèses

Pour évaluer le pire des cas, nous faisons l'hypothèse d'un blocage total du pont à ses deux extrémités, sans aucune possibilité de mouvement. Nous utilisons le \(\Delta T\) le plus grand (celui de l'hiver, 30°C) car il générera la plus grande contrainte (en traction).

Donnée(s)

Nous utilisons les données des questions précédentes et ajoutons le module d'Young de l'acier.

ParamètreSymboleValeurUnité
Module d'Young (Acier)\(E\)210 000\(\text{MPa}\)
Coefficient de dilatation\(\alpha\)\(12 \times 10^{-6}\)\(\text{°C}^{-1}\)
Variation de température max\(\Delta T\)30\(\text{°C}\)
Astuces

Le produit \(E \cdot \alpha\) pour l'acier vaut environ \(2.5 \text{ MPa/°C}\). Pour chaque degré de température bloqué, l'acier subit donc une contrainte de 2.5 MPa. C'est un chiffre utile à retenir pour des estimations rapides.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation d'un pont dont le mouvement est bloqué à ses extrémités.

Hypothèse : Pont bloqué
Forces de blocage
Calcul(s)

Calcul de la contrainte thermique (cas hivernal bloqué)

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{th, hiver}} &= (210000 \text{ MPa}) \times (12 \times 10^{-6} \text{ °C}^{-1}) \times (30 \text{ °C}) \\ &= 2.52 \times 30 \\ &= 75.6 \text{ MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma illustre le rôle du joint : il fournit l'espace nécessaire pour que la dilatation se produise sans créer de contraintes.

Fonctionnement d'un joint de dilatation
Situation en Hiver (Froid)Espace = 16.5 cmSituation en Été (Chaud)L'espace se ferme
Réflexions

Une contrainte de 75.6 MPa (en traction en hiver) ou de 63 MPa (en compression en été) est significative. Pour un acier S235 dont la limite d'élasticité est 235 MPa, cela représente environ un tiers de sa résistance. En ajoutant les contraintes dues au trafic, cette force supplémentaire pourrait causer des défaillances. Le joint n'est donc pas une option, mais une nécessité absolue.

Points de vigilance

Ne jamais sous-estimer les forces générées par la température. L'histoire de l'ingénierie est remplie d'exemples de structures (rails, ponts, pipelines) qui ont échoué parce que les effets de la dilatation thermique avaient été mal calculés ou négligés.

Points à retenir
  • Un mouvement de dilatation empêché génère une contrainte thermique.
  • Cette contrainte est proportionnelle à la rigidité du matériau (E).
  • Le joint de dilatation est la solution la plus courante pour "libérer" ce mouvement et annuler la contrainte thermique.
Le saviez-vous ?

Le pont du Gard, construit par les Romains il y a 2000 ans, n'a pas de joints de dilatation au sens moderne. Sa survie est due à la construction en blocs de pierre (qui peuvent glisser légèrement les uns sur les autres) et au fait que la pierre a un coefficient de dilatation plus faible que l'acier. Les ponts modernes, plus longs et plus élancés, ne pourraient exister sans ces joints.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet :

Existe-t-il des alternatives aux joints de dilatation ?

Oui, pour certains ponts, on peut utiliser la technique des "ponts intégraux" où le tablier est solidement connecté aux culées (les appuis aux extrémités). Dans ce cas, ce sont les fondations et le sol environnant qui sont conçus pour être suffisamment souples pour absorber les mouvements du pont. Cette solution est généralement limitée à des ponts de longueur modérée.

Résultat Final
Le joint de dilatation est un espace vide, calculé pour être au moins égal à 16.5 cm, qui permet à la structure de s'allonger et de se raccourcir librement. Il est indispensable pour éviter l'apparition de contraintes thermiques qui pourraient endommager ou détruire le pont.
A vous de jouer

Un rail de TGV en acier est posé en été à 35°C. En hiver, la température chute à -5°C. Si le rail était bloqué, quelle contrainte de traction (en MPa) subirait-il ? (Utilisez les mêmes données pour l'acier).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Mouvement empêché = contrainte générée.
  • Formule : \(\sigma_{\text{th}} = E \cdot \alpha \cdot \Delta T\).
  • Point de Vigilance : Les contraintes thermiques s'ajoutent aux contraintes mécaniques (trafic, poids propre).

Outil Interactif : Simulateur de Dilatation

Utilisez les curseurs pour voir comment la longueur d'une poutre en acier et l'amplitude de température influencent son allongement total.

Paramètres d'Entrée
250 m
55 °C
Résultats Clés
Allongement total - cm
Contrainte si bloquée (indicatif) - MPa

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le coefficient de dilatation thermique linéaire (\(\alpha\)) représente ?

2. Si l'on chauffe une plaque métallique qui a un trou en son centre, que se passe-t-il ?

3. Deux barres, une en acier (\(\alpha \approx 12 \times 10^{-6} \text{ °C}^{-1}\)) et une en aluminium (\(\alpha \approx 23 \times 10^{-6} \text{ °C}^{-1}\)), de même longueur initiale, sont chauffées de 30°C. Laquelle s'allongera le plus ?

4. À quoi sert principalement un joint de dilatation dans un pont ?

Glossaire

Dilatation Thermique
Le phénomène physique par lequel les dimensions d'un corps (longueur, surface, volume) augmentent lorsque sa température augmente.
Joint de Dilatation
Dispositif constructif qui ménage un espace entre deux parties d'une structure pour leur permettre de se dilater ou de se contracter sans générer de contraintes.
Coefficient de Dilatation Linéaire (\(\alpha\))
Propriété d'un matériau qui quantifie sa capacité à s'allonger sous l'effet de la chaleur. Il s'exprime en "par degré Celsius" (\(\text{°C}^{-1}\)).
Contrainte Thermique
Force interne par unité de surface qui apparaît dans un matériau lorsque son mouvement de dilatation ou de contraction est bloqué ou restreint.
Changement de Longueur des Matériaux

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