Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte
Comprendre le Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte
Vous êtes ingénieur en structure et travaillez sur la conception d’une poutre en béton précontraint pour un pont. La poutre doit supporter son propre poids ainsi que des charges supplémentaires dues au trafic.
L’optimisation de la conception nécessite le calcul de l’excentricité de la force de précontrainte appliquée.
Pour comprendre le calcul d’une Poutre en Béton Précontraint, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Longueur de la poutre, \( L \): 20 m
- Force de précontrainte, \( P \): 1500 kN
- Module d’élasticité du béton, \( E_c \): 30 GPa
- Aire de la section transversale, \( A \): 0.05 m\(^2\)
- Moment d’inertie de la section transversale, \( I \): 4000 cm\(^4\)
- Hauteur de la section, \( h \): 60 cm
- Position de la ligne neutre par rapport à la base de la section, \( y_n \): 20 cm
- Distance du câble de précontrainte depuis la base de la section, \( d \): 10 cm
Questions:
1. Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte, \( e \):
L’excentricité est la distance entre la ligne d’action de la force de précontrainte et le centre de gravité de la section transversale. Calculer cette distance en utilisant la position de la ligne neutre et la distance du câble.
2. Effet de l’excentricité sur les contraintes dans la section:
Utiliser la formule de flexion pour déterminer les contraintes normales maximales et minimales dans la section de béton due à la force de précontrainte.
3. Discussion sur les implications des résultats obtenus:
Évaluer si l’excentricité obtenue est admissible selon les critères de conception pour la sécurité et la durabilité de la structure.
Correction : Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte
1. Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte, \( e \)
L’excentricité \(e\) est la distance entre la ligne d’action de la force de précontrainte et le centre de gravité de la section transversale.
Elle peut être calculée comme suit:
Formule:
\[ e = d – y_n \]
Valeurs données:
- \( d = 10 \) cm (Distance du câble de précontrainte depuis la base de la section)
- \( y_n = 20 \) cm (Position de la ligne neutre par rapport à la base de la section)
Substitution des valeurs et calcul:
\[ e = 10 \, \text{cm} – 20 \, \text{cm} \] \[ e = -10 \, \text{cm} \] \[ e = -0.1 \, \text{m} \]
Interprétation:
L’excentricité négative indique que la force de précontrainte agit en dessous de la ligne neutre, entraînant une prédominance de compression sur la partie inférieure de la section transversale.
2. Effet de l’excentricité sur les contraintes dans la section
Formule de la contrainte normale \( \sigma \):
\[ \sigma = \frac{P}{A} + \frac{P \cdot e}{I} \cdot y \]
Valeurs données:
- \( P = 1500 \, \text{kN} = 1500 \times 10^3 \, \text{N} \) (Force de précontrainte)
- \( A = 0.05 \, \text{m}^2 \) (Aire de la section transversale)
- \( I = 4000 \, \text{cm}^4 = 0.00004 \, \text{m}^4 \) (Moment d’inertie, converti en \( \text{m}^4 \))
- \( y \) pour la fibre supérieure et inférieure, respectivement \( 0.3 \, \text{m} \) et \( -0.3 \, \text{m} \)
Calculs:
- Pour la fibre supérieure:
\[ \sigma_{\text{sup}} = \frac{1500 \times 10^3}{0.05} + \frac{1500 \times 10^3 \times (-0.1)}{0.00004} \times 0.3 \] \[ \sigma_{\text{sup}} = 30 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 – 112.5 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{sup}} = -82.5 \times 10^6 \, \text{Pa}\, \text{(compression)} \]
- Pour la fibre inférieure:
\[ \sigma_{\text{inf}} = 30 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 + 112.5 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 \] \[ \sigma_{\text{inf}} = 142.5 \times 10^6 \, \text{Pa}\, \text{(tension)} \]
Interprétation:
Les résultats montrent que la contrainte de compression maximale se produit à la fibre supérieure et la contrainte de tension maximale à la fibre inférieure.
La fibre supérieure étant comprimée fortement peut aider à contrôler la fissuration due à la traction, tandis que la haute tension en bas nécessite une attention pour éviter la fissuration précoce.
3. Discussion sur les implications des résultats obtenus
- Impact sur la conception:
Les résultats de contrainte influencent directement la conception de la poutre en termes de dimensionnement des renforts nécessaires pour gérer les contraintes de traction et de compression.
- Critères de sécurité:
Il est essentiel de comparer les contraintes obtenues aux valeurs limites admissibles pour le béton précontraint afin d’assurer la sécurité et la durabilité structurelle.
Calcul de l’excentricité de la force de précontrainte
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