Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne
Comprendre le Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne
Vous êtes ingénieur dans une entreprise spécialisée dans la conception de turbines éoliennes. Afin d’optimiser la conception d’une nouvelle turbine, vous devez évaluer l’efficacité avec laquelle la turbine convertit l’énergie cinétique du vent en énergie électrique, en utilisant le coefficient de puissance \( C_p \).
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Données fournies:
- Vitesse du vent à l’entrée de la turbine : \( V = 12 \) m/s
- Densité de l’air : \( \rho = 1.225 \) kg/m\(^3\)
- Puissance électrique générée par la turbine : \( P = 500 \) kW
- Rayon du rotor de la turbine : \( R = 20 \) m
Questions:
1. Calculez l’aire \( A \) balayée par le rotor.
2. Déterminez la puissance théorique du vent.
3. Calculez le coefficient de puissance \( C_p \) de la turbine.
4. Discutez si la valeur de \( C_p \) obtenue est réaliste en vous basant sur les valeurs typiques qui varient généralement de 0 à 0.59 (limite de Betz).
Questions supplémentaires pour approfondir:
- Comment \( C_p \) changerait-il si la vitesse du vent doublait, toutes les autres variables restant constantes ?
- Quel impact la variation du rayon du rotor aurait-elle sur \( C_p \) ?
Correction : Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne
1. Calcul de l’aire \(A\) balayée par le rotor
L’aire balayée par le rotor d’une turbine éolienne est la surface d’un cercle de rayon \(R\). La formule utilisée est :
\[ A = \pi R^2 \]
Données :
- \(R = 20\, \text{m}\)
Calcul :
\[ A = \pi \times (20)^2 \] \[ A = \pi \times 400 \] \[ A \approx 1256.64\, \text{m}^2 \]
2. Détermination de la puissance théorique du vent
La puissance contenue dans le vent qui traverse l’aire \(A\) est donnée par :
\[ P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \rho A V^3 \]
où :
- \(\rho\) est la densité de l’air
- \(V\) est la vitesse du vent
Données :
- \(\rho = 1.225\, \text{kg/m}^3\)
- \(V = 12\, \text{m/s}\)
- \(A \approx 1256.64\, \text{m}^2\)
Calcul :
1. Calcul de \(V^3\) :
\[ 12^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1728\, \text{m}^3/\text{s}^3 \]
2. Application de la formule :
\[ P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 1256.64 \times 1728 \] \[ P_{\text{vent}} = 770.58 \times 1728 \] \[ P_{\text{vent}} \approx 1\,332\,000\, \text{W} \] \[ (\text{soit environ} 1.332\, \text{MW}) \]
3. Calcul du coefficient de puissance \(C_p\) de la turbine
Le coefficient de puissance \(C_p\) est le rapport entre la puissance réellement extraite (ou générée) par la turbine et la puissance théorique disponible dans le vent. La formule est :
\[ C_p = \frac{P_{\text{élec}}}{P_{\text{vent}}} \]
Données :
- Puissance électrique générée : \(P_{\text{élec}} = 500\, \text{kW} = 500\,000\, \text{W}\)
- Puissance théorique du vent : \(P_{\text{vent}} \approx 1\,332\,000\, \text{W}\)
Calcul :
\[ C_p = \frac{500\,000}{1\,332\,000} \approx 0.375 \]
4. Discussion sur la valeur de \(C_p\)
La valeur obtenue de \(C_p \approx 0.375\) est réaliste. En effet, le coefficient de puissance d’une turbine éolienne ne peut pas dépasser la limite théorique de Betz, soit environ 0.59. Une valeur de 0.375 indique une conversion d’énergie efficace, bien qu’elle ne soit pas optimale, ce qui est courant dans des applications industrielles réelles.
Questions supplémentaires pour approfondir
4.1. Impact du doublement de la vitesse du vent
Question :
Comment \(C_p\) changerait-il si la vitesse du vent doublait, toutes les autres variables restant constantes ?
Analyse :
La puissance théorique du vent dépend du cube de la vitesse :
\[ P_{\text{vent}} \propto V^3 \]
Si \(V\) passe de 12 m/s à 24 m/s, alors :
\[ P_{\text{vent(new)}} = \frac{1}{2} \rho A (2V)^3 \] \[ P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \rho A \times 8 V^3 \] \[ P_{\text{vent}} = 8 \times P_{\text{vent}} \]
Conclusion :
Si la turbine continue de produire 500 kW malgré la hausse théorique de la puissance (ce qui est peu probable en pratique car la puissance extraite augmenterait normalement), le nouveau coefficient de puissance serait :
\[ C_{p(new)} = \frac{500\,000}{8 \times 1\,332\,000} \] \[ C_{p(new)} \approx \frac{500\,000}{10\,656\,000} \] \[ C_{p(new)} \approx 0.047 \]
Ce résultat montre que, pour une puissance électrique fixe, \(C_p\) diminuerait fortement si la vitesse du vent doublait. En pratique, la turbine capterait une puissance supérieure si elle est conçue pour exploiter l’augmentation du vent, et le \(C_p\) resterait dans une plage réaliste, dépendant de l’efficacité de conversion.
4.2. Impact de la variation du rayon du rotor sur \(C_p\)
Question :
Quel impact la variation du rayon du rotor aurait-elle sur \(C_p\) ?
Analyse :
- L’aire balayée \(A\) est proportionnelle au carré du rayon (\(A = \pi R^2\)).
- Une augmentation du rayon augmente l’aire et donc la puissance théorique du vent de façon quadratique.
- Le coefficient de puissance est défini par le rapport de la puissance réellement extraite sur la puissance théorique disponible.
Conclusion :
- Si la puissance électrique extraite ne varie pas (reste fixe à 500 kW par exemple), alors une augmentation du rayon (et donc de \(A\)) augmenterait \(P_{\text{vent}}\) et réduirait le rapport \(C_p\).
- En revanche, dans une turbine bien conçue, une augmentation du rayon entraînerait également une augmentation de la puissance extraite, de sorte que le \(C_p\) dépend principalement de l’efficacité aérodynamique et non directement de \(R\).
En résumé, le \(C_p\) tel que défini ici est un indicateur de l’efficacité de conversion et n’est pas directement une fonction du rayon tant que la turbine ajuste sa puissance extraite en fonction de la puissance théorique disponible.
Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne
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