Calcul des dimensions d’un terrain
Comprendre le Calcul des dimensions d’un terrain
Vous êtes un ingénieur topographe travaillant sur un projet de développement routier. Votre tâche est de déterminer les dimensions exactes d’un terrain triangulaire où la route doit être construite.
Le terrain est délimité par trois points: A, B, et C.
Pour comprendre la Division d’un Terrain en Topographie, cliquez sur le lien.
Données:
- L’angle au point A (angle \(\angle BAC\)) est de \(53^\circ\).
- L’angle au point B (angle \(\angle ABC\)) est de \(78^\circ\).
- La distance entre les points A et B est de \(350\) mètres.
Questions:
1. Calcul de l’angle au point C:
Utilisez la somme des angles dans un triangle pour déterminer l’angle au point C.
2. Application de la loi des sinus:
Utilisez la loi des sinus pour trouver les longueurs des côtés AC et BC.
3. Calcul de la superficie du triangle:
Utilisez la formule de l’aire d’un triangle à partir des côtés et d’un angle, souvent appelée la formule de l’aire de Heron.
Correction : Calcul des dimensions d’un terrain
1. Calcul de l’angle au point C:
La somme des angles dans un triangle est toujours de 180°. Ainsi:
\[ \text{Angle C} = 180^\circ – (\text{Angle A} + \text{Angle B}) \] \[ \text{Angle C} = 180^\circ – (53^\circ + 78^\circ) \] \[ \text{Angle C} = 49^\circ \]
2. Application de la loi des sinus pour trouver AC et BC:
La loi des sinus stipule que le rapport entre la longueur d’un côté d’un triangle et le sinus de son angle opposé est constant et égal pour tous les côtés du triangle:
\[ \frac{AB}{\sin(\text{Angle C})} = \frac{AC}{\sin(\text{Angle B})} = \frac{BC}{\sin(\text{Angle A})} \]
En utilisant les valeurs connues:
\[ AC = \frac{350 \cdot \sin(78^\circ)}{\sin(49^\circ)} \] \[ AC \approx 453.62 \text{ mètres} \]
\[ BC = \frac{350 \cdot \sin(53^\circ)}{\sin(49^\circ)} \] \[ BC \approx 370.37 \text{ mètres} \]
3. Calcul de l’aire du triangle:
Une fois les longueurs des côtés AC et BC connues, utilisez la formule de l’aire du triangle:
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\text{Angle C}) \]
En insérant les valeurs:
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \cdot 350 \cdot 453.62 \cdot \sin(49^\circ) \] \[ \text{Aire} \approx 59911.54 \text{ mètres carrés} \]
Calcul des dimensions d’un terrain
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