Calcul des coordonnées en topographie
Comprendre le Calcul des coordonnées en topographie
Vous êtes un technicien en topographie chargé de cartographier un nouveau lotissement pour un développement résidentiel. Pour débuter, vous devez établir un plan précis en mesurant les coordonnées des points clés (sommets) qui délimiteront les futures propriétés.
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Données:
- Point de référence (P1) : Coordonnées connues (X₁ = 200 m, Y₁ = 300 m).
- Distance entre les points :
- Distance P1 à P2 = 150 m
- Distance P1 à P3 = 100 m
- Distance P2 à P3 = 120 m
- Angles mesurés depuis le point de référence (P1) :
- Angle P1P2 = 45° par rapport à l’axe des X positif (est)
- Angle P1P3 = 105° par rapport à l’axe des X positif
Questions:
1. Calcul des coordonnées du point P2 :
Utilisez la distance de P1 à P2 et l’angle de P1P2 pour calculer les coordonnées de P2. Les formules pour le calcul des coordonnées à partir d’un point, d’une distance, et d’un angle sont:
- X₂ = X₁ + D₁₂ × cos(θ₁₂)
- Y₂ = Y₁ + D₁₂ × sin(θ₁₂)
2. Calcul des coordonnées du point P3 :
Appliquez une méthode similaire pour P3, en utilisant les données fournies pour l’angle et la distance depuis P1.
3. Vérification de la cohérence :
Une fois les coordonnées de P2 et P3 calculées, vérifiez la cohérence de ces points en mesurant la distance calculée entre P2 et P3 et en la comparant avec la distance donnée.
Correction : Calcul des coordonnées en topographie
1. Calcul des coordonnées du point P2
Nous partons du point de référence P1 dont les coordonnées sont données et nous utilisons la distance ainsi que l’angle mesuré depuis P1 pour calculer les coordonnées du point P2.
Pour passer d’un point à un autre, on utilise les formules de coordonnées en trigonométrie qui permettent d’obtenir le décalage en X et en Y.
Formules utilisées
\[ X_2 = X_1 + D_{12} \times \cos(\theta_{12}) \]
\[ Y_2 = Y_1 + D_{12} \times \sin(\theta_{12}) \]
Données
- Coordonnées de P1 : \( X_1 = 200 \, \text{m} \) et \( Y_1 = 300 \, \text{m} \)
- Distance de P1 à P2 : \( D_{12} = 150 \, \text{m} \)
- Angle mesuré pour P2 : \( \theta_{12} = 45^\circ \)
Calcul
1. Calcul de \(\cos(45^\circ)\) et \(\sin(45^\circ)\)
\[ \cos(45^\circ) \approx 0.7071 \quad \text{et} \quad \sin(45^\circ) \approx 0.7071 \]
2. Substitution dans les formules
\[ X_2 = 200 + 150 \times 0.7071 \] \[ X_2 \approx 200 + 106.07 \] \[ X_2 \approx 306.07 \, \text{m} \]
\[ Y_2 = 300 + 150 \times 0.7071 \] \[ Y_2 \approx 300 + 106.07 \] \[ Y_2 \approx 406.07 \, \text{m} \]
2. Calcul des coordonnées du point P3
Le point P3 est également déterminé à partir du point de référence P1 en utilisant la distance et l’angle mesurés. La particularité ici est que l’angle est différent, impliquant des valeurs trigonométriques différentes (notamment un cosinus négatif).
Formules utilisées
\[ X_3 = X_1 + D_{13} \times \cos(\theta_{13}) \]
\[ Y_3 = Y_1 + D_{13} \times \sin(\theta_{13}) \]
Données
- Coordonnées de P1 : \( X_1 = 200 \, \text{m} \) et \( Y_1 = 300 \, \text{m} \)
- Distance de P1 à P3 : \( D_{13} = 100 \, \text{m} \)
- Angle mesuré pour P3 : \( \theta_{13} = 105^\circ \)
Calcul
1. Calcul des valeurs trigonométriques pour \(105^\circ\)
\[ \cos(105^\circ) = \cos(180^\circ – 75^\circ) = -\cos(75^\circ) \approx -0.2588 \]
\[ \sin(105^\circ) = \sin(180^\circ – 75^\circ) = \sin(75^\circ) \approx 0.9659 \]
2. Substitution dans les formules
\[ X_3 = 200 + 100 \times (-0.2588) \] \[ X_3 \approx 200 – 25.88 \] \[ X_3 \approx 174.12 \, \text{m} \]
\[ Y_3 = 300 + 100 \times 0.9659 \] \[ Y_3 \approx 300 + 96.59 \] \[ Y_3 \approx 396.59 \, \text{m} \]
3. Vérification de la cohérence entre les points P2 et P3
Pour vérifier la cohérence des points calculés, on détermine la distance entre P2 et P3 à partir de leurs coordonnées. Cette distance doit être proche de la valeur donnée pour la distance entre P2 et P3 (120 m).
Formule utilisée
La distance entre deux points \( (X_2, Y_2) \) et \( (X_3, Y_3) \) se calcule par :
\[ D_{23} = \sqrt{(X_3 – X_2)^2 + (Y_3 – Y_2)^2} \]
Données
- Coordonnées de P2 : \( (306.07, 406.07) \, \text{m} \)
- Coordonnées de P3 : \( (174.12, 396.59) \, \text{m} \)
- Distance donnée entre P2 et P3 : \( 120 \, \text{m} \)
Calcul
1. Calcul des différences
\[ \Delta X = X_3 – X_2 \] \[ \Delta X = 174.12 – 306.07 \] \[ \Delta X \approx -131.95 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y = Y_3 – Y_2 \] \[ \Delta Y = 396.59 – 406.07 \] \[ \Delta Y \approx -9.48 \, \text{m} \]
2. Calcul de la distance
\[ D_{23} = \sqrt{(-131.95)^2 + (-9.48)^2} \] \[ D_{23} \approx \sqrt{17408.40 + 89.87} \] \[ D_{23} \approx \sqrt{17498.27} \] \[ D_{23} \approx 132.27 \, \text{m} \]
3. Comparaison
- Distance calculée : \( 132.27 \, \text{m} \)
- Distance donnée : \( 120 \, \text{m} \)
La différence entre ces deux valeurs peut être due à des imprécisions dans les mesures sur le terrain ou à des arrondis lors des calculs.
Conclusion
- Coordonnées de P2 : \( (306.07, 406.07) \, \text{m} \)
- Coordonnées de P3 : \( (174.12, 396.59) \, \text{m} \)
- Distance calculée entre P2 et P3 : \( 132.27 \, \text{m} \) (discrépance par rapport aux 120 m donnés)
Calcul des coordonnées en topographie
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