CALCUL DE L’AXE NEUTRE EN RDM
Comprendre le calcul de l’axe neutre en rdm
Vous êtes un ingénieur en structure chargé de concevoir un pont en poutre. Pour garantir la sécurité et l’efficacité de la structure, il est crucial de déterminer la position de l’axe neutre de la poutre sous charge.
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Données de l’exercice :
- Type de poutre : Poutre rectangulaire.
- Dimensions de la poutre : Largeur = 300 mm, Hauteur = 600 mm.
- Matériau : Acier avec un module d’élasticité (E) de 210 GPa.
- Charge appliquée : Charge uniformément répartie de 50 kN/m sur toute la longueur de la poutre.
- Longueur de la poutre : 10 mètres.
- Contraintes permises : La contrainte de traction maximale permise est de 250 MPa, et la contrainte de compression maximale permise est également de 250 MPa.
Objectif de l’exercice : Calculer la position de l’axe neutre de la poutre lorsque la charge maximale est appliquée. Assurez-vous que les contraintes ne dépassent pas les limites permises.
Questions :
1. Calculer la réaction aux appuis.
2. Déterminer le moment fléchissant maximal dans la poutre.
3. Utiliser la relation entre le moment fléchissant, la contrainte et le module d’élasticité pour trouver la position de l’axe neutre.
4. Vérifier que les contraintes de traction et de compression restent dans les limites permises.
Correction : calcul de l’axe neutre en rdm
1. Calcul de la Réaction aux Appuis
Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, les réactions aux appuis sont égales et peuvent être calculées comme suit :
- Charge totale sur la poutre:
\[ = 50 \, \text{kN/m} \times 10 \, \text{m} \] \[ = 500 \, \text{kN} \]
- Réaction à chaque appui:
\[ = \frac{500 \, \text{kN}}{2} = 250 \, \text{kN} \]
2. Détermination du Moment Fléchissant Maximal
Le moment fléchissant maximal dans une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie se produit au milieu de la poutre et est calculé par :
\[ M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]
où \(q = 50 \, \text{kN/m}\) et \(L = 10 \, \text{m}\).
\[ M_{\text{max}} = \frac{50 \times 10^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{5000}{8} = 625 \, \text{kN.m} \]
3. Calcul du Moment d’Inertie de la Section
Pour une section rectangulaire,
\[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
où \(b = 300 \, \text{mm} = 0.3 \, \text{m}\) et \(h = 600 \, \text{mm} = 0.6 \, \text{m}\).
\[ I = \frac{0.3 \times 0.6^3}{12} \] \[ I = \frac{0.3 \times 0.216}{12} \] \[ I = 0.0054 \, \text{m}^4 \]
4. Position de l’Axe Neutre
La contrainte dans une section de poutre est \(\sigma = \frac{M \cdot y}{I}\). Pour trouver la position de l’axe neutre, on utilise les contraintes maximales permises en traction et en compression :
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \cdot y_{\text{max}}}{I} \]
Avec \(\sigma_{\text{max}} = 250 \, \text{MPa} = 250 \times 10^6 \, \text{N/m}^2\) et \(M_{\text{max}} = 625 \times 10^3 \, \text{N.m}\),
\[ 250 \times 10^6 = \frac{625 \times 10^3 \times y_{\text{max}}}{0.0054} \] \[ y_{\text{max}} = \frac{250 \times 10^6 \times 0.0054}{625 \times 10^3} \] \[ y_{\text{max}} \approx 0.0216 \, \text{m} \]
Conclusion
La position de l’axe neutre est à environ 21.6 mm de la fibre la plus tendue ou comprimée. Cette position est bien à l’intérieur de la hauteur de la section (600 mm), ce qui signifie que les contraintes restent dans les limites permises et la conception est sécuritaire.
Calcul de l’axe neutre en rdm
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