Étude de la Variation de Pression

Comprendre l’Étude de la Variation de Pression

Vous êtes ingénieur en génie civil et vous travaillez sur la conception d’un barrage. Une partie de votre tâche est de déterminer la pression exercée par l’eau à différentes profondeurs sur la paroi du barrage pour garantir sa stabilité structurelle. Le barrage retient de l’eau douce et forme un réservoir dont la profondeur maximale est de 50 mètres.

Données:

Profondeur maximale du réservoir d’eau : \(h = 50\) m
Densité de l’eau : \(\rho = 1000\) kg/m\(^3\)
Accélération due à la gravité : \(g = 9.81\) m/s\(^2\)
Pression atmosphérique au sommet du barrage : \(P_{\text{atm}} = 101325\) Pa

Questions:

Calculer la pression exercée par l’eau sur la paroi du barrage à trois niveaux différents :

1. À la surface de l’eau.

2. À une profondeur de 25 m.

3. À la profondeur maximale de 50 m.

Correction : Étude de la Variation de Pression

Correction détaillée - Étude de la Variation de Pression

Formule Générale de la Pression en Fonction de la Profondeur

Lorsque l’on étudie la pression exercée par un fluide au repos, on sait que la pression augmente linéairement avec la profondeur en raison du poids du fluide situé au-dessus du point considéré. La pression totale \( p \) à une profondeur \( h \) se calcule en additionnant la pression atmosphérique \( P_{atm} \) à la contribution due au fluide, soit :

\[ p = P_{atm} + \rho \cdot g \cdot h \]

Données :

Pression atmosphérique au sommet du barrage : \( P_{atm} = 101325\ \text{Pa} \)
Densité de l’eau : \( \rho = 1000\ \text{kg/m}^3 \)
Accélération due à la gravité : \( g = 9.81\ \text{m/s}^2 \)
Profondeurs étudiées : \( h_1 = 0\ \text{m} \) (surface de l’eau), \( h_2 = 25\ \text{m} \), \( h_3 = 50\ \text{m} \)

Calculs pour Chaque Profondeur

1. À la Surface de l’Eau (\( h = 0\ \text{m} \))

Calcul de la pression :

Données utilisées :
- \( h = 0\ \text{m} \)
- \( P_{atm} = 101325\ \text{Pa} \)
- \( \rho = 1000\ \text{kg/m}^3 \)
- \( g = 9.81\ \text{m/s}^2 \)

Substitution dans la formule :

\[ p = 101325\ \text{Pa} + (1000\ \text{kg/m}^3 \times 9.81\ \text{m/s}^2 \times 0\ \text{m}) \]

Calcul de la contribution du fluide :

\[ 1000 \times 9.81 \times 0 = 0\ \text{Pa} \]

Résultat :

\[ p = 101325\ \text{Pa} + 0\ \text{Pa} \] \[ p = 101325\ \text{Pa} \]

Conclusion :
À la surface de l’eau, la pression exercée sur la paroi du barrage est de 101325 Pa.

2. À une Profondeur de 25 m (\( h = 25\ \text{m} \))

Calcul de la pression :

Données utilisées :
- \( h = 25\ \text{m} \)
- \( P_{atm} = 101325\ \text{Pa} \)
- \( \rho = 1000\ \text{kg/m}^3 \)
- \( g = 9.81\ \text{m/s}^2 \)

Substitution dans la formule :

\[ p = 101325\ \text{Pa} + (1000\ \text{kg/m}^3 \times 9.81\ \text{m/s}^2 \times 25\ \text{m}) \]

Calcul de la contribution du fluide :

Calculons le produit \( 1000 \times 9.81 \times 25 \) :
\( 1000 \times 9.81 = 9810\ \text{N/m}^3 \) et \( 9810 \times 25 = 245250\ \text{Pa} \)

Résultat :

\[ p = 101325\ \text{Pa} + 245250\ \text{Pa} \] \[ p = 346575\ \text{Pa} \]

Conclusion :
À une profondeur de 25 mètres, la pression exercée sur la paroi du barrage est de 346575 Pa.

3. À la Profondeur Maximale de 50 m (\( h = 50\ \text{m} \))

Calcul de la pression :

Données utilisées :
- \( h = 50\ \text{m} \)
- \( P_{atm} = 101325\ \text{Pa} \)
- \( \rho = 1000\ \text{kg/m}^3 \)
- \( g = 9.81\ \text{m/s}^2 \)

Substitution dans la formule :

\[ p = 101325\ \text{Pa} + (1000\ \text{kg/m}^3 \times 9.81\ \text{m/s}^2 \times 50\ \text{m}) \]

Calcul de la contribution du fluide :

Calculons le produit \( 1000 \times 9.81 \times 50 \) :
\( 1000 \times 9.81 = 9810\ \text{N/m}^3 \) et \( 9810 \times 50 = 490500\ \text{Pa} \)

Résultat :

\[ p = 101325\ \text{Pa} + 490500\ \text{Pa} \] \[ p = 591825\ \text{Pa} \]

Conclusion :
À la profondeur maximale de 50 mètres, la pression exercée sur la paroi du barrage est de 591825 Pa.