Calcul de la contrainte de flexion
Comprendre le Calcul de la contrainte de flexion
Un ingénieur en génie civil doit concevoir une poutre en acier pour soutenir un plancher dans un bâtiment commercial.
La poutre doit supporter une charge uniformément répartie provenant du poids du plancher, des meubles, et de l’occupation prévue.
L’objectif est de déterminer si la poutre choisie peut résister à la charge sans dépasser la contrainte de flexion admissible pour l’acier utilisé.
Pour comprendre le Calcul du moment de résistance à la flexion, cliquez sur le lien.
Données:
- Longueur de la poutre, L: 6 mètres
- Charge uniformément répartie, w: 5 kN/m (ceci inclut le poids propre de la poutre)
- Contrainte admissible pour l’acier, \(\sigma_{\text{adm}}\): 250 MPa
- Moment d’inertie de la section transversale de la poutre, \(I\): \(8.1 \times 10^{-6} \, m^4\)
- Distance de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre, c: 150 mm
Objectif
Calculer la contrainte de flexion maximale dans la poutre et vérifier si elle dépasse la contrainte admissible pour l’acier.
Correction : Calcul de la contrainte de flexion
1. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{\text{max}}\))
Le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)) pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée est donné par:
\[ M_{\text{max}} = \frac{wL^2}{8} \]
En substituant les valeurs données:
\[ M_{\text{max}} = \frac{5 \times 6^2}{8} = \frac{5 \times 36}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{180}{8} = 22.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Cela nous donne un moment de 22.5 kN\(\cdot\)m, qui doit être converti en N\(\cdot\)m pour être cohérent avec les unités SI dans les calculs suivants:
\[ 22.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 22.5 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m} \]
2. Calcul de la Contrainte de Flexion (\(\sigma\))
La contrainte de flexion est calculée avec la formule:
\[ \sigma = \frac{M_{\text{max}} \cdot c}{I} \]
En substituant les valeurs données:
\[ \sigma = \frac{22.5 \times 10^3 \cdot 0.15}{8.1 \times 10^{-6}} \] \[ \sigma = \frac{3375 \times 10^3}{8.1 \times 10^{-6}} \] \[ \sigma = 416,666.67 \, \text{Pa} \]
Ce qui nous donne une contrainte de flexion de \(416.67 \, \text{MPa}\) après conversion des unités (Pa en MPa).
3. Vérification par Rapport à la Contrainte Admissible
Nous comparons maintenant la contrainte de flexion calculée avec la contrainte admissible de 250 MPa.
\[ \sigma_{\text{calculée}} = 416.67 \, \text{MPa} \]
\[ \sigma_{\text{adm}} = 250 \, \text{MPa} \]
La contrainte de flexion calculée dépasse largement la contrainte admissible.
Conclusion:
La poutre en acier choisie n’est pas adéquate pour les charges prévues. La contrainte de flexion maximale dépasse la limite admissible, indiquant un risque de défaillance.
L’ingénieur doit donc envisager soit d’augmenter le moment d’inertie de la section transversale de la poutre (choisir une poutre plus robuste), soit de réduire la charge ou la portée de la poutre, soit encore d’utiliser un matériau avec une contrainte admissible plus élevée.
Calcul de la contrainte de flexion
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